人教版七年级下册8.4 三元一次方程组的解法精品ppt课件

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已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和 比丙数大20，求这三个数. 在上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
三元一次方程(组)的有关概念
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数是一次的方程组叫做三元一次方程组.
三元一次方程组必备条件：(1)是整式方程；(2)共含三个未知数；(3)三个都是一次方程；(4)联立在一起．
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　) A. B. C. D.
A选项中，方程x 2－y＝1与xz＝2中有含未知数的项的次数为2的项， 不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中 不是整式，故B选项不是; C选项中方程组中共含有四个未知数，故C选项不是； D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
三元一次方程组需满足的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；(3)每个方程均是整式方程．
1 下列方程是三元一次方程的是______．(填序号) ①x＋y－z＝1; ②4xy＋3z＝7； ③ ④6x＋4y－3＝0.
下列方程组中是三元一次方程组的是(　　)A. B. C. D.
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解. 那么，能不能用同样的思 路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？让我们看前面列出的三元一次方程组
仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z 的方程： 4y+y+z=12， 4y+2y+5z=22.它们组成方程组得到二元一次方程组之后，就不难求出y 和z，进而可求出x.
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入” 或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. 这与解二元一次方程组的思路是一样的.
试一试 上面的三元一次方程组能否应用加减消元法求解? 比较一下，哪种方法更简便？
解三元一次方程组的一般步骤：(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未 知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系 数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
②×3+③，得11x+10z＝35. ④①与④组成方程组解这个方程组，得
方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y， 得到一个只含x，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组.
把x =5, z = -2代人②，得 2×5+3y -2 = 9，所以 因此，这个三元一次方程组的解为
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
解下列三元一次方程组：
③－①，得2z＋2y＝56，即y＋z＝28 ④，②＋④，得2y＝31，所以y＝15.5.把y＝15.5代入①，得x＝22.把y＝15.5代入②，得z＝12.5.所以原方程组的解为
①＋②，得5x＋2y＝16　④，①－③，得2x－2y＝－2　⑤，④＋⑤，得7x＝14，所以x＝2.将x＝2代入④，得y＝3.将x＝2，y＝3代入③，得z＝1.所以原方程组的解为
解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选(　　)A．消去x B．消去y C．消去z D．以上说法都不对
已知三元一次方程组 经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是(　　)A. B. C. D.
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系．(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；(4)解出方程组求出未知数的值；(5)写出答案，包括单位名称．
在等式y＝ax 2＋bx＋c 中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60. 求a，b，c 的值．
把a，b，c 看成三个未知数，分别把已知的x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组.
根据题意，得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1； ④ 　 ③－①，得4a＋b＝10. ⑤④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得把 代入①，得c＝－5.因此 即a，b，c 的值分别为3，－2，－5.
某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30 km， 20 km， 40 km，则从甲地到乙地的过程中, 上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路 的长度分别是x km，y km和z km. 由题意得 答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km， 平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
解此题的关键是理解在汽车往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 ，求这三个数.
设甲数为x，乙数为y，丙数为z，则有解这个方程组，得答：甲数为10，乙数为15，丙数为10.
已知单项式－8a 3x＋y－zb12c x＋y＋z与2a2b2x－yc 6是同类项，则x＝________，y＝________，z＝________．
在等式y＝ax2＋bx＋c 中，当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－5，可列出关于a，b，c的三元一次方程组是(　　)A. B. C. D.
由②＋①×2，得7x＋8z＝4.④由③＋②×2，得2x＋3z＝3.⑤由④⑤组成方程组，得 解得
把 代入①，得y＝－2.所以原方程组的解为
易错点：加减消元时，易漏乘某项系数而出错.
若(a＋1)x＋5y b＋1＋2z 2－|a|＝10是一个三元一次方程，则(　　)A．a＝1，b＝0 B．a＝－1，b＝0C．a＝±1，b＝0 D．a＝0，b＝0
小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法(　　)A．6 B．5 C．4 D．3
设则原方程组可化为①＋②，得2a＋2c＝1，④②＋③，得2a＋4c＝4.⑤④与⑤组成方程组，得解这个方程组，得
把 代入①，得b＝6.因此，x＝－1，y＝ ，z＝ .即原方程组的解为
设x＝k，y＝2k，z＝3k，代入②，得2k＋2k－9k＝15.解得k＝－3.所以原方程组的解为
解方程组：
①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝12，所以x＋y＋z＝6.④④－①，得z＝3.④－②，得x＝1.④－③，得y＝2.所以原方程组的解为
方法一：用代入法解方程组．把②变形为2y＝3x－4z－8，④将④代入①，得2x＋2(3x－4z－8)－3z＝9，整理，得8x－11z＝25.⑤将④代入③，得5x－3(3x－4z－8)－5z＝7，整理，得4x－7z＝17.⑥
用两种消元法解方程组：
由⑤⑥组成方程组，得解得将 代入④，得y＝ .所以原方程组的解为
方法二：用加减法解方程组．①＋②×2，得8x－11z＝25.④①×3＋③×2，得16x－19z＝41.⑤由④⑤，得 解得将 代入①，得y＝ .所以原方程组的解为
如图是一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“ ”里的数之和，请你通过计算确定三个“ ”里的数之和，并且确定三个“ ”里应填入的数．
如图，如果把三个“ ”里的数分别记作x，y，z，则①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝142，即x＋y＋z＝71.④④－①，得z＝－12.④－②，得x＝50.④－③，得y＝33.
所以三元一次方程组的解为所以三个“ ”里的数之和为71，三个“ ”里应填入的数按先上后下，先左后右的顺序依次为50，33，－12.
已知甲、乙二人解关于x，y的方程组甲正确地解得 而乙把c 抄错了，解得 求a，b，c的值．
甲正确地解得 故可把 代入原方程组．乙仅抄错了题中的c，解得 故可把代入第一个方程．由题意得 解得
解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基本过程为：三元