北师大版（2019）必修第一册3-1不等式的性质课堂作业含答案3

【优质】3.1 不等式的性质-2课堂练习

一．填空题

1．若 则的最小值是__________．

2．已知，，且，则的最大值是__________．

3．已知a＞0，b＞0，m=lg，n=lg，则m与n的大小关系为______．

4．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交或其延长线于不同的两点，且，若的最小值为，则正数的值为________.

5．已知，，是与的等比中项，则的最小值为__________．

6．若，，，则的最小值为______．

7．若，则的最小值为_____.

8．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．

9．已知，，且，则最小值为______．

10．已知，且，则的最小值为___________．

11．设二次函数（为实常数）的导函数为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为_____．

12．若，则的最小值为____．

13．已知两个正实数a．b满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是______．

14．已知，则的最小值为______．

15．已知实数，，且，则的最小值为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.

【详解】

则，即   

由题意知，则，

则

当且仅当，即时取等号

本题正确结果：

【点睛】

本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.

2．【答案】4

【解析】由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可．

【详解】

∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，

∴由基本不等式可得mn4，

当且仅当m＝n＝2时，取等号，

故答案为：4

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，属于基础题．

3．【答案】

【解析】,又是增函数,故>,即,故填.

4．【答案】

【解析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.

【详解】

因为点是的三等分点，

则，

又由点三点共线，则，

，

当且仅当时，等号成立，

即的最小值为 ,则有,

解可得或(舍），故，故答案为2.

【点睛】

本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

5．【答案】

【解析】先由已知得到x+2y=1,再对化简变形，再利用基本不等式求其最小值.

【详解】

由题得.

所以=.

当且仅当时取等.

所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．【答案】9

【解析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．

【详解】

若，，，即，

则

，

当且仅当取得最小值9，

故答案为：9.

【点睛】

本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．

7．【答案】

【解析】由得，即，所以，，当且仅当时取等号，所以的最小值为．

考点：1.对数的性质；2.基本不等式．

【名师点睛】本题考查对数的性质．基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正．二定．三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”．“拼”．“凑”．

8．【答案】3

【解析】由已知可知，，整理结合基本不等式可求.

【详解】

解：，b都是正数，满足，

则，

当且仅当且，即时，取得最小值3，

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题.

9．【答案】

【解析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.

【详解】

，

结合可知原式，

且

，

当且仅当时等号成立.

即最小值为.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

10．【答案】4

【解析】由基本不等式可得，结合条件，即可得出结果.

【详解】

因为，且，

所以，当且仅当，即时，取等号.

故答案为

【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于基础题型.

11．【答案】

【解析】由已知可得恒成立，即，且，进而利用基本不等式可得的最大值．

【详解】

∵，

∴，

∵对任意，不等式恒成立，

∴恒成立，

即恒成立，

故，且，

即，

∴，

∴，

∴，可令，即，时，；

故时，

，当且仅当时，取得最大值．

故答案为：.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．

12．【答案】19

【解析】由，可得，进而可由展开，利用基本不等式即可得解.

【详解】

由，可得.

.

当且仅当，即时，取得最小值19.

故答案为：19.

【点睛】

本题主要考查了灵活利用基本不等式求和的最值，属于基础题.

13．【答案】(－4,2)

【解析】两个正实数满足

恒成立，

求解出的范围

则实数的取值范围为

14．【答案】1

【解析】根据基本不等式即可求出最小值．

【详解】

，

，

，当且仅当，即时取等号，

故答案为：1

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．

15．【答案】

【解析】根据题干得到，则 ，再根据均值不等式得到最值即可.

【详解】

根据题意得到，变形为，

则

因为，故得到

故

故答案为：.

【点睛】

本题考查了在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.