北师大版（2019）必修第一册3-1不等式的性质优选作业含答案

【精选】3.1 不等式的性质-2优选练习

一．填空题

1．若，则的最小值为______．

2．设二次函数（为实常数）的导函数为，若对任意不等式恒成立，则的最大值为_____．

3．已知正实数x，y满足，则的最小值是______

4．函数的最大值为______,此时的值为______.

5．若正实数满足，则的最小值是______．

6．已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为_____．

7．若实数满足，且，则的最大值为______.

8．已知正数满足,则的最小值是___________.

9．已知正数a，b满足，则的最小值为______．

10．已知实数x，y满足，则xy的最大值为__________．

11．已知x＞0，y＞0，且x+y＝6，则的最大值为_____

12．已知，且，若恒成立，则实数的最大值为__________．

13．如图，点在的边上，且，，，则的最大值为________．

14．已知，若对任意正数，，不等式恒成立，则实数的最小值为______.

15．已知，则的最小值为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】8

【解析】根据基本不等式求最值.

【详解】

因为，所以, 当且仅当时取等号,即的最小值为8.

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．【答案】

【解析】由已知可得恒成立，即，且，进而利用基本不等式可得的最大值．

【详解】

∵，

∴，

∵对任意，不等式恒成立，

∴恒成立，

即恒成立，

故，且，

即，

∴，

∴，

∴，可令，即，时，；

故时，

，当且仅当时，取得最大值．

故答案为：.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．

3．【答案】

【解析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．

【详解】

正实数x，y满足，则

当且仅当且即，时取得最小值是

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

4．【答案】-3    2 

【解析】先将原式化为，再由基本不等式，即可求出结果.

【详解】

因为，

又，所以，当且仅当时取等号；

此时.

即最大值为，此时.

【点睛】

本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

5．【答案】4

【解析】【详解】

得，设（），则

，

当且仅当时等号成立，故的最小值是4.

6．【答案】

【解析】由不等式的性质进行求解即可．

【详解】

∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].

故答案为：[﹣9，0]

【点睛】

本题考查了不等式性质的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题．

7．【答案】

【解析】先根据对数的运算性质可得xy＝2，再根据基本不等式即可求

【详解】

实数x．y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，

则，

当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号

故的最大值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，考查了对数的运算，其中对代数式进行变形与灵活配凑，是解本题的关键，属于中等题．

8．【答案】 ９

【解析】由题意可得+=（+）（x+y）=1+4++，再利用基本不等式即可求出．

【详解】

∵正数x，y满足x+y=1，

则+=（+）（x+y）=1+4++≥5+2=9，当且仅当x=，y=时取等号，

故则+的最小值是9，

故答案为：9.

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题．

9．【答案】4

【解析】由，可得，再利用基本不等式即可求出最小值.

【详解】

解：正数a，b满足，

，当且仅当时取等号．

的最小值为4.

故答案为4.

【点睛】

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，求最值时，可通过基本不等式或函数两个方面考虑，在用基本不等式时要注意不等式的使用条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可．

10．【答案】

【解析】通过基本不等式得到，从而求得结果.

【详解】

（当且仅当时取等号）

最大值为

【点睛】

本题考查基本不等式的运算，属于基础题.

11．【答案】2

【解析】由题意结合均值不等式的结论和对数的运算法则确定的最大值即可.

【详解】

，，且；

，当且仅当时取等号；

；

；

的最大值为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查对数的运算法则，均值不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．【答案】

【解析】不等式恒成立？（）min≥a．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

【详解】

∵，且

∴1016，当且仅当y＝3x＝时取等号．

∵不等式恒成立？（）min≥a．

∴a∈（﹣∞，16]，

即实数的最大值为16

故答案为：16.

【点睛】

本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质．恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．

13．【答案】

【解析】先计算出的值，利用可得，两边平方后整理可得，设，则，利用基本不等式可求的最大值.

【详解】

因为，

所以

因为，所以即，

整理得到，两边平方后有，

所以即，

整理得到，

设，所以，

因为，

所以，

，当且仅当，时等号成立，

故填.

【点睛】

三角形中可根据点分线段成比例得到向量之间的关系，从而得到所考虑的边的长度之间的关系.三角形中关于边的和的最值问题，可通过基本不等式来求，必要时需代数变形构造所需的目标代数式.

14．【答案】

【解析】根据，为任意整数可得已知不等式等价于恒成立，利用基本不等式易得；接下来求解不等式即可得出k的取值范围，从而得出k的最小值，注意所得k的值还要满足.

【详解】

解：，

恒成立等价于恒成立.

解得（舍去）或

的最小值为

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，体现了转化的数学思想.

15．【答案】1

【解析】根据基本不等式即可求出最小值．

【详解】

，

，

，当且仅当，即时取等号，

故答案为：1

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．