北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数随堂练习题

【精挑】4.1 一元二次函数-2优选练习

一．填空题

1．不等式的解集是________．

2．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围________.

3．二次函数的部分对应值如下表：

则不等式的解集是___________________.

4．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______.

5．不等式的解集为R，则实数a的取值范围为________.

6．若不等式的解集为，则________，________.

7．若不等式的解集为，则________．________．

8．不等式的解集为________.

9．若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．

10．设不等式的解集为, 关于的不等式（为常数）的解集为， 若，则的取值范围是__________

11．若，不等式的解集为，则实数的取值范围是______.

12．不等式的解集为____________．

13．，，且，则实数a的取值范围是________．

14．若对任意且，不等式恒成立， 则实数的取值范围是______.

15．不等式的解集为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】通过“移项，通分”等步骤，将不等式等价转化为，根据高次不等式解法求解即可.注意分母不为0.

详解：∵，∴，即，

即，等价于，在数轴上标跟如下图：

解得：或.

即不等式的解集为，

故答案为.

【点睛】

本题主要考查分式不等式和高次不等式的求解，属于中档题.

2．【答案】

【解析】根据的不等式的解集为可知，函数为开口向上的二次函数，且与轴至多有一个交点，即，求解即可.

详解：解：依题意有，解得:.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次不等式恒成立问题，属于基础题.

3．【答案】

【解析】详解：由对应值可知二次函数关于直线对称，且在直线的左侧函数单调递减，右侧函数单调递增，所以可知，而是函数的两个零点，由此判断不等式的解为或

四．双空题

4．【答案】

【解析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

详解：因为关于的不等式的解集为，

所以有一元二次方程的判别式小于零，

即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了数学运算能力.

5．【答案】

【解析】讨论项的系数,根据二次函数的图象和性质列不等式组可解得答案.

详解：当时,不等式化为:,符合题意;

当时,不等式化为:,解得,不符合题意;

当时,要使不等式的解集为R,

必有且,解得,

综上所述: 实数a的取值范围为:.

故答案为:

【点睛】

本题考查了分类讨论思想,二次函数的图象和性质,属于基础题.

6．【答案】     

【解析】利用不等式的解集和对应方程的关系进行求解.

详解：因为不等式的解集为，

所以，且是方程的两个根；

即有，解得；

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，利用不等式的解集求解参数时，通常利用不等式的解集与方程的关系进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.

7．【答案】

【解析】试题分析：不等式的解集为，故，是方程的两个根，由根与系数的关系求出，，即得．

详解：解：由题意不等式的解集为，故，是方程的两个根

，

，

故答案为：；．

【点睛】

本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．

8．【答案】

【解析】不等式左边分解因式，利用二次不等式的解法直接求解即可.

详解：原不等式等价于，故原不等式的解集为.

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于容易题，

9．【答案】

【解析】试题分析：运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.

详解：不等式转化为,化简为，

令,又,则,

即恒成立，令，又，

当时，取最小值，

所以，恒成立,化简得，解不等式得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围,属于中档题.

10．【答案】

【解析】首先解出集合，根据，结合二次函数的图象，列出不等式求解.

详解：，若，

则 ，解得：.

故答案为：

【点睛】

本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，重点考查二次函数，一元二次不等式，属于基础题型.

11．【答案】

【解析】题目等价于，不等式的解集为，讨论和两种情况，计算得到答案.

详解：解，不等式的解集为，

等价于，不等式的解集为.

①当时，或.

若，则原不等式为，恒成立，满足题意；

若，则原不等式为，即，不合题意，舍去.

②当，即时，.

原不等式的解集为的条件是

解得.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查了根据不等式的解求参数，将题目转化为等价命题是解题的关键.

12．【答案】

【解析】由题意结合一元二次不等式的解法即可得解.

详解：由得，

所以不等式的解集为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】解不等式得到集合，然后根据得到关于的不等式，解不等式可得所求的范围．

详解：由题意得

因为，且，

所以．

故答案为：.

【点睛】

根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，为增强解题的直观性，一般要结合数轴进行求解，解题时特别需要注意集合的端点是否可以相等．

14．【答案】

【解析】等价变形分离变量，再利用换元法及已知范围求解.

详解：,

设 ，

且，

故答案为：

【点睛】

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．

15．【答案】

【解析】试题分析：讨论，，三种情况，解不等式得到答案.

详解：，即，

当时，得到，无解；

当时，易知不成立；

当时，，等价于，即.

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.