北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数当堂达标检测题

【名师】4.1 一元二次函数-1优选练习

一．填空题

1．函数在区间上的最大值是________．

2．当时，恒成立，则的取值范围是___________．

3．若已知关于的不等式的解集为，则____，关于的不等式的解集为_______

4．定义：如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点．已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是        .

5．已知是实数，若对于任意的，不等式恒成立，则的值为______.

6．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________

7．关于x的不等式的解集为________.

8．不等式的解集是________.

9．若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最大值为4，则a的值为____________.

10．定义:关于的两个不等式和的解集分别为和,则称这两个不等式为对偶不等式,如果不等式与不等式为对偶不等式,且,则_______.

11．已知，且在恒成立，则的值为__________.

12．若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数．若，是“距”增函数，则的取值范围是________．

13．当时，不等式恒成立，则的取值范围是_______.

14．已知二次函数（是常数且）满足条件：，且方程有两相等实根.存在实数使的定义域和值域分别为和，则_______.

15．若二次函数y=kx2-8x+1在区间[4，6]上是增加的，则实数k的取值范围是______．

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】根据二次函数的图像与性质即可求解.

【详解】

，

二次函数的开口向下，对称轴为，且

所以函数在单调递增，在上单调递减，

所以.

故答案为：2

【点睛】

本题考查了二次函数的图像与性质，需熟记二次函数的性质，属于基础题.

2．【答案】

【解析】等价于或者，根据这两个不等式组进行讨论求解即可。

【详解】

因为当时，恒成立，

即当时，或者恒成立。

3．【答案】     

【解析】由的解集为，得且，

不等式等价于，由，得，解之可得解集.

【详解】

由的解集为，得且，所以，

不等式等价于，因为，所以，解得，所以关于的不等式的解集为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查不等式与其方程的关系，注意由不等式的解集得出其系数的符号和系数间的关系是本题的关键，属于基础题.

4．【答案】.

【解析】由题意设函数在区间上的均值点为，则，易知函数的对称轴为，①当即时，有，显然不成立，不合题意；②当即时，有，显然不成立，不合题意；③当即时，（1）当有，即，显然不成立；（2）当时，，此时，与矛盾，即；（3）当时，有，即，解得，综上所述得实数的取值范围为.

考点：二次函数的性质.

5．【答案】

【解析】不等式恒成立，则两个因式的符号相反（或有一个为0），因为当 时，，则此时必须为负，则，且函数和在轴上的交点必须重合.从而求得答案.

【详解】

不等式恒成立,

因为当 时，，

则此时必须为负，则,则.

则直线与轴的正半轴必有一个交点，

对于二次函数,因为，

则图像与轴必有两个交点，又两根之和为，

则二次函数与轴的正半轴必有一个交点（另一个在轴负半轴上），

要使得不等式恒成立，

则两函数和与轴的交点重合,

与轴的交点为，

将代入，得:

,整理得:.

解得： 或（舍去）

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数与不等式的关系，考查二次函数的图像与一次函数的图像，考查函数与方程，属于中档题.

6．【答案】

【解析】先确定，再利用0为其中的一个解，，求出的值，从而可得不等式，由此确定不等式的整数解，从而可得结论.

详解：设，其图象为抛物线，

对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，

因为0为其中一个解可以求得，

又，所以或，

则不等式为和，

可分别求得和，

因为位整数，所以和，

所以全部不等式的整数解的和为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的应用，其中解答中根据题设条件确定出实数的值，求出相应的一元二次不等式的解集是解答关键，推理与运算能力.

7．【答案】

【解析】将分式不等式转化为整数不等式求解即可.

【详解】

解：且，

解得，

故关于x的不等式的解集为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查分式不等式的解法，是基础题.

8．【答案】

【解析】把不等式一边化成零，然后根据分式的运算性质求解即可.

【详解】

或，

解得或，所以原不等式的解集为：.

故答案为：

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法，考查了分式的运算性质，考查了数学运算能力.

9．【答案】-1或1

【解析】对a分类讨论，利用函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a的值.

【详解】

解：由题意，当时，，即，

；

当时，，即，

；

综上知，的值为1或？1.

故答案为：1或？1.

【点睛】

本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.

10．【答案】

【解析】根据对偶不等式的定义,以及不等式的解集和方程之间的关系,即可得到结论.

【详解】

解:设不等式的解集为,

由题意不等式的解集为,

即是方程的两根,

是方程的两根.

由一元二次方程与不等式的关系可知 ,

整理可得:,即.

又因为

所以.

故答案为:

【点睛】

本题以新定义为载体,考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系方程的根与系数的关系是一道综合性比较好的试题.

11．【答案】

【解析】等价于，在恒成立，只需，根据的对称轴分类讨论，求出在的最大值和最小值，结合不等式的性质，即可求解.

【详解】

，对称轴方程为，

在恒成立，需，

当时， ，

①②得，不合题意舍去；

当时， ，

③④得，不合题意舍去；

当

⑤⑥⑦得，

，代入⑤⑦得，

.

故答案为:.

【点睛】

本题考查二次函数的最值以及不等式的性质，考查分类讨论思想，属于较难题.

12．【答案】

【解析】由题中定义得出，作差变形后得出对任意的恒成立，结合得出，由此可求得实数的取值范围.

详解：，

因为函数是“距”增函数，所以恒成立，

由，所以．

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.

13．【答案】

【解析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.

【详解】

当时，不等式恒成立

等价于在时恒成立

即等价于；

而因为，

故,当且仅当时取得最大值.

故：

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.

14．【答案】

【解析】根据已知条件，列出和的方程，从而得到的解析式，根据定义域和值域分别为和，分，，进行讨论，列出关于，的方程，解得，的值，得到答案.

【详解】

二次函数，，且方程有两相等实根

所以，得，

所以，开口向下，对称轴为，

因为的定义域和值域分别为和，

所以①，单调递增，所以

即，解得或，或，

所以，.

②，在取得最大值为，

而值域为，

所以得，

所以不成立

③，单调递减，所以，

即，上式减下式，得，

把代入上式得，

整理得，无解

所以不成立.

综上所述，，，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查求二次函数的解析式，根据二次函数的定义域和值域求参数的值，属于中档题.

15．【答案】[1，+∞）

【解析】二次函数单调区间，开口向上时对称轴右侧为递增区间，开口向下时对称轴左侧是递增区间.分类讨论即可求解

【详解】

∵二次函数y=kx2-8x+1在区间[4，6]上是增加的，对称轴x=，

∴或，

解可得k≥1，

故答案为：[1，+∞）．

【点睛】

二次函数单调区间，需综合考虑开口方向和对称轴位置：开口向上函数先减后增，开口向下时函数先增后减.