高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用当堂达标检测题

【精挑】4.3 一元二次不等式的应用-1优选练习

一．填空题

1．如果二次函数在区间为减函数，在上为增函数，则实数的取值______

2．若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.

3．一元二次不等式的解集为______.

4．已知关于的不等式的解集是，则______．

5．不等式的解集为____________．

6．已知函数，关于x的不等式的解集为A，其中，在集合A上的值域为B，若，则____.

7．若正实数，满足，则的最大值为______．

8．若不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.

9．，有且只有两个零点，则实数a的取值范围是______.

10．如果把抛物线向右平移1个单位长度，新图像与直线相交于点，则的值为________.

11．函数的单调递减区间为__________．

12．若函数的值域为，则实数取值范围是_________.

13．已知函数f(x)同时满足①；②在[1，3]上单调递减；③.该函数的表达式可以是f(x)=___________.

14．若函数值有正有负，则实数a的取值范围为__________

15．若存在，使不等式成立，则实数取值范围是__.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：函数对称轴为，则由题意可得，解出不等式即可.

详解：∵函数的对称轴为且在区间上是减函数，在上为增函数

∴，

即.

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：先求导，设，把问题转化为在上存在两个零点，设为且，再利用韦达定理求解，代入，整理利用二次函数求取值范围即可.

详解：因为，

所以，

设，

因为函数在上存在两个极值点，

所以在上存在两个零点，

所以在上存在两个零点，设为且，

所以根据韦达定理有：，

故

，

因为，

所以，

，

由于，

所以.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：利用导数研究函数的极值问题.

把函数在区间存在两个极值点的问题转化为导函数在区间内存在两个零点，利用韦达定理得到参数和系数的关系，最后利用二次函数求取值范围.

3．【答案】

【解析】

解：等价于，进而得：.

故答案为：

4．【答案】

【解析】由题意可知，．为方程的两根，

所以，解得，因此，故答案为．

5．【答案】

【解析】由题意结合一元二次不等式的解法即可得解.

详解：由得，

所以不等式的解集为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．【答案】

【解析】分析：根据不等式的解集为，得到，，然后再根据在集合A上的值域为B，其，分，和三种情况讨论求解.

详解：令，

因为不等式的解集为A，

所以，，

因为在集合A上的值域为B，若，

所以当时，在集合A上递增，

则，

所以m，n是方程的两根，

所以，此时不成立；

当时，在集合A上递减，

则，

所以，此时不成立；

当时，

则，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】

方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定．轴动区间定．轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．

7．【答案】

【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，

所以a＝，

则＝＝＝﹣2 （）2+，

当，即b＝2 时取得最大值．

故答案为：．

8．【答案】；

【解析】分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立；

（2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；

（3）当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．

详解：解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；

（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．

（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，

得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；

综上，的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．

9．【答案】

【解析】分析：首先令，解得或，将问题转化为与或有两个不同的交点，求出的最小值，只需满足或，解不等式即可求解.

详解：令，

即，解得或，

有且只有两个零点，

则与共有两个不同的零点，

即与或有两个不同的交点，

由的开口向上，

且，

当，即时，

只需，解得，

此时，

当，即时，，此时无交点，即无零点；

当，即时，

只需，解得，

此时，

综上所述，实数a的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查了函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是将问题转化为与或有两个不同的交点，进而转化为之间的关系，考查了分类讨论的思想.

10．【答案】

【解析】分析：点在直线上得到，由图象平移得到新函数的解析式，再代入A点坐标，可得值.

详解：因为新函数图象与直线相交于点，

所以，即，

抛物线图象向右平移1个单位长度，

新图象对应的解析式为，又在图象上，

所以，得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，图象的平移，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：先求二次函数的对称轴，根据开口方向直接得函数的单调递减区间.

详解：，

函数的对称轴是，开口向上，

所以函数的单调递减区间是.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：根据二次函数的图象和性质，当时，检验即可，当时，不成立，当 时，利用判别式法求解.

详解：当时， 的值域为，

当 时，的值域不可能为，

当时， 解得，

综上：实数取值范围是，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数的值域以及二次函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

13．【答案】

【解析】分析：根据题意构造符合题意的二次函数即可.

详解：由可知：关于对称；可设f(x)为二次函数，

又且f(x)在[1，3]上单调递减，

所以可设符合题意.

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：先考虑的情况，再考虑 时，由求解.

详解：当时，，不成立；

当时，，即，

解得，

故答案为：

15．【答案】.

【解析】分析：对不等式进行参变量分离得到，然后令，，

即可以得到的取值范围.

详解：由题意，可知：，可得：

令，.

在上单调减，在上单调增，而，.

.

根据题意

故答案为:.

【点睛】

本题考查能成立问题的解决思路以及参变量分离方法，属中档题.