北师大版（2019）必修第一册3-1不等式的性质同步作业含答案

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【优编】3.1 不等式的性质-1同步练习一．填空题1．已知，二次三项式对于一切实数x恒成立，又，使成立，则的最小值为____．2．已知正实数满足，则的最小值为______．3．一批救灾物资随51辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______4．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为________．5．当时，函数的最小值是______．6．设实数，，且，则的取值范围是______．7．若实数，满足，则的最小值为____.8．设的最小值为______．9．已知都是正实数，则的最小值是__________.10．已知，，且，则的最小值等于__________.11．已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．12．设，，若，则的最小值是______．13．函数的最小值为______．14．若，则的最小值为__________．15．已知，，且2是，的等比中项，则的最小值为__________．
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：对于一切实数恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果.详解：已知，二次三项式对于一切实数恒成立，，且；再由，使成立，可得，，，令，则（当时，等号成立），所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.2．【答案】55【解析】由题可得y0，解得0＜x＜21.则xy+5x+4y＝3x+y+42＝3x42＝331，再利用基本不等式的性质即可得出．【详解】∵正实数满足，∴，，解得．则，当且仅当时取等号．∴的最小值为55.故答案为：55.【点睛】本题考查了基本不等式的性质．不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．【答案】10【解析】用速度v表示时间，结合基本不等式，计算最小值，即可。【详解】当最后一辆车子出发，第一辆车子走了小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要小时，结合基本不等式，计算最值，可得，故最小值为10小时【点睛】考查了基本不等式计算函数最值问题，关键利用，计算最小值，即可，难度中等。4．【答案】【解析】因,即,故,所以,应填.考点：基本不等式及灵活运用．5．【答案】1【解析】将转化为，因为，所以可使用基本不等式求最小值【详解】，函数，当且仅当，且，即时等号成立，故函数y的最小值为1.故答案为：1.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积．和为常数的形式，然后再利用基本不等式6．【答案】【解析】先由得出，并可结合已知条件求出x的取值范围，然后将关系式代入转化为x的代数式，利用基本不等式可求出的取值范围．【详解】由，可得，，，由，可得，则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，解决本题的关键在于将代数式进行转化，并进行灵活配凑，考查计算能力与化简变形能力，属于中等题．对于二元范围问题常见的方法有：二元化一元，变量集中或者利用不等式解决.7．【答案】4【解析】由已知可知，2（a﹣1）+b﹣2＝2，从而有（）[2（a﹣1）+b﹣2）]，利用基本不等式可求最小值.【详解】解：∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，则（）[2（a﹣1）+b﹣2）]，（4），当且仅当 且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的应用，解题的关键是配凑基本不等式的应用条件．8．【答案】【解析】将转化为，然后利用基本不等式求得最小值.【详解】.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9．【答案】【解析】考点：基本不等式.10．【答案】【解析】由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意， 且，则，当且仅当，即时等号成，所以的最小值等于.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．【答案】【解析】由于恒成立，需，由基本不等式得，因此， ．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．【答案】【解析】利用“1”的代换的思想，将变形为展开化简，利用基本不等式，即可求得的最小值．【详解】解：，，，，当且仅当即时取等号，，的最小值为18.故答案为：18.【点睛】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用在应用基本不等式求最值时要注意“一正．二定．三相等”的判断本题运用了基本不等式中比较常用的一种方法，即“1”的代换的思想属于中档题．13．【答案】【解析】，当且仅当时取等号，此时，即函数的最小值是，故答案为.14．【答案】5【解析】由已知得：，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为点睛：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用。在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则。根据，推断出，然后把整理成，进而利用基本不等式求得最小值。15．【答案】【解析】通过等比中项得到，再利用基本不等式求得最小值.【详解】由题意得：又，当且仅当时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，属于基础题.