北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数综合训练题

【精挑】4.1 一元二次函数-1同步练习

一．填空题

1．已知二次函数，且，写出的单调增区间_________________．

2．不等式的解集为________________．

3．已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为________.

4．不等式的解集是_________

5．若不等式的解集是，函数，当时恒成立，则实数a的取值范围是______

6．设二次函数，（且）在上至少有一个零点，则的最小值为___________.

7．若关于x的不等式正整数解只能为5，则整数a的值为________.

8．已知,函数在的最大值是5,则的取值范围是_______.

9．函数若f(x)＝12，则x＝_____________.

10．已知二次函数，分别是函数在区间的最大值和最小值，则的最小值是________

11．关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a﹣b＝_____

12．不等式的解集为___________________.

13．函数的单调增区间为______．

14．关于的不等式的解集中恰有3个整数，则的取值范围是_______.

15．已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．

参考答案与试题解析

1．【答案】（或）

【解析】利用二次函数性质确定对称轴及单调性求解

【详解】

为对称轴，且单调递增，故函数开口向上，故的单调增区间为

故答案为：

【点睛】

本题考查二次函数性质，确定对称轴及开口方向是解题关键，是基础题

2．【答案】或

【解析】首先化为，

从而，采用“穿针引线”解高次不等式即可．

【详解】

由化为，即，

不等式组等价于且

由下图可知，不等式的解集为或

故答案为或

【点睛】

本题考查解分式不等式，在解分式不等式时需掌握住等价转化，当出现高次不等式时，利用“穿针引线”法．

3．【答案】3

【解析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间上的值域为,必有,,或,再根据求的最大值最好是正值,可得, ,即的最大值为.

【详解】

画出函数的图像可知,要使其在闭区间上的值域为,

由于有且仅有,所以,

而,所以有,或,

又∵,的最大值为正值时,,

∴,

所以,当取最小值时,,有最大值.

又∵,

∴的最大值为；

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和定义域与值域之间的关系,分析双变量的最值时,可先确定正负,再看是否有办法将其中一值取到定值,以此消元.本题为中等题.

4．【答案】

【解析】整理不等式为,进而求解.

详解：由题,,即,则,

解得或,

故答案为:

【点睛】

本题考查解分式不等式,注意分母不为0,属于基础题.

5．【答案】

【解析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得到，再根据二次函数的性质解答.

【详解】

解：的解集是

所以为方程的解且

，则

，

，对称轴为

，

即

故答案为：

【点睛】

本题考查一元二次不等式和一元二次方的关系，二次函数的性质，属于基础题.

6．【答案】

【解析】由可得,即变换主元,视为关于的直线方程,则表示原点到点的距离的平方,最小值即为原点到直线的距离的平方,进而利用均值不等式求得的最小值即可.

详解：由题,当时,有解,

则可设点在直线上,

则表示原点到点的距离的平方,

的最小值为原点到直线的距离的平方,

所以,

令,

原式,

因为,当且仅当,即时等号成立,不符合题意,

所以当时,最小,此时取得最小值为,

则的最小值为,

故答案为:

【点睛】

本题考查由零点分布求参数范围,考查点到直线距离公式的应用,考查利用均值定理求最值,考查转化思想和运算能力.

7．【答案】

【解析】，再分类讨论求出不等式组的解，再根据原不等式正整数解只能为5，从而可得出结论．

【详解】

解：∵，

∴，

显然，

当时，解不等式组得，或，

∴，无解；

当时，解不等式组得，或，

∴，解得；

综上，满足题意，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查含参的一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题．

8．【答案】

【解析】对分两种情况讨论，即或，结合二次函数的图象，即可得答案.

【详解】

（1）当时，，此时在单调递增，

∴的最大值为成立，∴成立；

（2）当时，，

∴或

解得：，

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，考查函数与方程思想．转化与化归思想．分类讨论思想．数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意在时，函数的最值一定在端点处取得.

9．【答案】2或-2

【解析】分别讨论，当时，；当时，．由此能求出结果．

【详解】

，，

当时，，解得或（舍；

当时，，解得或（舍．

或．

故答案为：或2.

【点睛】

本题主要考查了函数值的求法，属于容易题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

10．【答案】

【解析】求出函数的对称轴，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出的最小值即可.

【详解】

由题意，二次函数，其对称轴为，

当，即时，在区间上为增函数，

，，

，

当，即时，在区间上为减函数，

，，

，

当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

，，；

当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

，，.

综上所述：的最小值是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．

11．【答案】1

【解析】根据二次不等式的解集与根的关系求解即可.

【详解】

由题的两根分别为1,2,由韦达定理得,即.故a﹣b＝1.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了二次不等式的解集与根的关系.属于基础题型.

12．【答案】

【解析】移项，分解因式，即可求得.

【详解】

不等式，整理为，

分解因式可得：，解得：

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次不等式的求解，属基础题.

13．【答案】

【解析】根据所给的二次函数的二次项系数小于零，得到二次函数的图象是一个开口向下的抛物线，根据对称轴，可得结论．

【详解】

解：函数的二次项的系数小于零

抛物线的开口向下

二次函数的对称轴是，定义域为

函数的单调递增区间是

故答案为：

【点睛】

本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最基本的运算，是一个基础题.

14．【答案】

【解析】对原不等式因式分解，利用分类讨论解集，从而求得参数的取值范围.

详解：由题可知，不等式，

当时，解集为，期内恰有3个整数即为，故；

当时，解集为，期内恰有3个整数即为，故；

当时，解集为空集不符合题意，

故的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用分类讨论思想解决一元二次不等式中参数的取值范围问题，属于简单题.

15．【答案】

【解析】根据题意分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．

【详解】

可化为，

令，由，得，

则，

在上递减，当时取得最大值为，

所以．

故答案为．

【点睛】

本题考查二次函数的性质．函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.