北师大版（2019）必修第一册3-1不等式的性质作业含答案

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【精编】3.1 不等式的性质-1作业练习一．填空题1．已知，则的最小值为______．2．已知正实数，满足，则的最小值为___．3．周长为的直角三角形面积的最大值为______．4．已知，函数的最小值是______．5．已知，且，则的最小值为______．6．若，则的最小值是______．7．已知，，，则的最小值为______．8．在平面直角坐标系中，定义两点，间的折线距离为，已知点,,，则的最小值为___.9．已知，且，则 的最小值是________10．不等式的解集是________11．已知，则取最小值是___．12．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为______.13．已知，则，则的最大值为_________．14．已知，R+，且，则的最小值是_____.    
15．已知实数若满足，则的最小值是__．
参考答案与试题解析1．【答案】7【解析】根据题意，原不等式变形可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，当时，，当且仅当时等号成立，即的最小值为7；故答案为：7.【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式，属于基础题．2．【答案】4【解析】由题意，可得，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案.【详解】由题意，正实数，满足，则，当且仅当，即时，取得最小值，其最小值为4，故答案为4.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，构造基本不等式的条件，利用基本不等式求解最小值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．【答案】【解析】先设两条直角边长，得等量关系，再根据基本不等式求最值，即得面积最值.【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为，则 ，解得，当且仅当时等号成立，所以直角三角形的面积，即的最大值为.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【答案】5【解析】分析：由，函数=-1+1，然后由基本不等式即可求得最小值.详解：由题可得：=-1+1，因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式可知：=-1+1 ，当x=3时取得最小值，故答案为5.点睛：本题考查基本不等式的应用，考查基本不等式的性质，属于基础题．5．【答案】15【解析】对变形可得原式，由，利用，利用基本不等式求最值即可。【详解】解：，且，，故．（当且仅当时取“=”）.故答案为：15.【点睛】本题考查了求代数式的最值问题，利用基本不等式是解决本题的一个常见方法，考查了转化思想的应用，是一道中档题。6．【答案】【解析】由已知可知，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：，，（当且仅当取等号）故答案为．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．7．【答案】8【解析】先变形：（x+2y）（）＝4，然后根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵（x+2y）（）＝44+28（当且仅当x，y时取等）故答案为：8【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，属于基础题．8．【答案】【解析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，利用即可得出．【详解】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，首先证明：，两边平方得到变形为，由重要不等式，显然此不等式成立，故根据不等式的性质得到：．故答案为：．【点睛】本题考查了基本不等式的性质．折线距离，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．【答案】【解析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以 的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10．【答案】【解析】先移项通分得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以，即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，一般需要先移项再通分，进而求解，属于常考题型.11．【答案】2【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得22，即可得答案．【详解】根据题意，x＞0，则22，当且仅当x＝1时等号成立，即的最小值是2；故答案为2.【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．12．【答案】【解析】曲线存在“优美点”，等价于当时， 关于原点对称的函数图象与当时的图象有交点，求得时函数关于原点对称函数的解析式，联立，解得，由基本不等式可得的范围．【详解】，若曲线存在“优美点”，等价于当时， 关于原点对称的函数图象与当时的图象有交点，当时，，关于原点对称的函数解析式为，，由与联立，可得在有解，由，当且仅当时，取得等号，即有，则的取值范围是，故答案为【点睛】本题主要考查基本不等式的应用．转化与划归思想的应用，以及新定义的理解和运用，属于难题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析．验证．运算，使问题得以解决.13．【答案】【解析】根据不等式，代入数值得到最值即可.【详解】根据不等式，将数值代入得到等号成立的条件为：x=y=1.故答案为：.【点睛】这个题目考查了不等式的应用，利用等号成立的条件求最值，注意等号成立的条件。一般解决二元问题，常采用的方法有：二元化一元，均值不等式，线性规划等的应用.14．【答案】【解析】根据a，b＞0，及a+3b＝4ab即可得出，则，展开根据基本不等式即可得最小值．【详解】∵a，b∈R+，且a+3b＝4ab；∴；∴ ；∴3a+4b的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查基本不等式在求最值时的应用，注意1的妙用. 15．【答案】【解析】根据题意，分析可得=×（）=[（x+3y）+（x﹣y）]（）=（5++），结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，实数满足x＞y＞0且x+y=2，则=×（）=[（x+3y）+（x﹣y）]（）=（5++）≥（5+4）=，当且仅当（x+3y）=2（x﹣y）即x=，y=时等号成立，则的最小值是；故答案为：．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.