北师大版（2019）必修第一册3-1不等式的性质课时作业含答案1

【精品】3.1 不等式的性质-2课时练习

一．填空题

1．已知M是内的一点（不含边界），且，，若和的面积分别为则的最小值是______。

2．已知，则的最小值为_____．

3．若均为正实数，则的最大值为______．

4．设a，b，c是三个正实数，且，则的最大值为______．

5．函数的图像恒过定点A，若A在直线，其中，则的最小值_________

6．已知则当a的值为        时取得最大值.

7．已知正实数满足，则的最小值为________

8．若实数x，y满足，则的最小值为______．

9．已知，且，则的最小值为______；

10．若正实数满足，则的最大值为__________ .

11．若，则的最小值为____．

12．直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为_____．

13．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为________．

14．已知正数，满足，则的最大值为_____.

15．已知，，且，则最小值为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由题意可得的面积为1，故得，将所求式子变形得到

，最后再利用基本不等式求解即可．

【详解】

由题意得在中，，

∴，

∴，

∴．

∴

，当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值为9.

故答案为9.

【点睛】

用基本不等式求最值时关键是得到能使用不等式的形式，为此往往需要对求值的式子进行变形，使之出现定值的形式．对于含有三个参数的式子，要根据条件化为含有两个参数的情况处理，另外，在应用不等式求最值时一定要注意等号成立的条件，这点在解题中容易忽视．

2．【答案】2

【解析】首先分析题目，由已知，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用基本不等式代入已知条件，化简为不等式，解不等式即可，．

【详解】

解：由题可得： （当且仅当时取等号），

整理得：，

即：，

又：，

所以： （当且仅当时取等号），

则：的最小值是2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。

3．【答案】

【解析】由基本不等式先得到，，再将化为，再结合基本不等式即可求出结果.

【详解】

，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，

，当且仅当，时取等号，

故的最大值为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，灵活运用基本不等式即可求解，属于常考题型.

4．【答案】1

【解析】由题意可得，根据，可得，则原式可化为，设，则，令，利用基本不等式即可求出函数的最小值，则可求出答案．

【详解】

解：，

，

，

，

，

即，

，

设，则，

令，

当且仅当时取等号，

，

故答案为：1

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与化归思想，熟记基本不等式即可，属于难题．

5．【答案】8

【解析】由已知可得定点，代入直线方程可得，从而.

考点：1．函数的定点；2．重要不等式.

【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正．二定．三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正．非定构定．不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定．不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.

6．【答案】4

【解析】由题意得，当取得最大值时，和都是正数，所以，再利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即当时，取得最大值.

考点：基本不等式求最值．

7．【答案】18

【解析】首先根据 ，然后再根据基本不等式可得，即可求出结果.

【详解】

因为＝＝2+

又1＝，所以，，

即，

当且仅当，即时，取等号.

【点睛】

基本不等式应用条件：① 注意运用基本不等式求最值时的条件：一“正”．二“定”．三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：

基本不等式求最值的常见的方法和技巧：①利用基本不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数．拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造；②利用基本不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数．拆因式（常常是拆高次的式子）．平方等方式进行构造；③用基本不等式求最值等号不成立。求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法．导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法.

8．【答案】

【解析】根据基本不等式可得．

【详解】

，，当且仅当时，取等，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了基本不等式及其应用属基础题．

9．【答案】12

【解析】由题=，当且仅当即时取等号，由，即当且仅当时取等号

考点：基本不等式

10．【答案】

【解析】可利用基本不等式求的最大值.

【详解】

因为都是正数，由基本不等式有，

所以即，当且仅当时等号成立，

故的最大值为.

【点睛】

应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

11．【答案】19

【解析】由，可得，进而可由展开，利用基本不等式即可得解.

【详解】

由，可得.

.

当且仅当，即时，取得最小值19.

故答案为：19.

【点睛】

本题主要考查了灵活利用基本不等式求和的最值，属于基础题.

12．【答案】

【解析】设直角三角形的两直角边为a．b，斜边为c，因为，，两次运用均值不等式即可求解．

【详解】

设直角三角形的两直角边为a．b，斜边为c，面积为s，周长L＝2，由于（当且仅当a＝b时取等号）∴．

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用均值不等式解决最值问题，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键，属于基础题.

13．【答案】4

【解析】由可得，然后由 可得所求最小值．

【详解】

由得，

又，

∴，解得．

∴．

∵，

∴，

∴，

∴ ，当且仅当时等号成立．

故答案为：4.

【点睛】

运用基本不等式求最值时，要注意使用的条件，即“一正．二定．三相等”，且三个条件缺一不可．当条件不满足时，需要利用“拆”．“凑”等方法进行适当的变形，使之满足能使用不等式的形式．考查知识间的综合运用，属于基础题．

14．【答案】

【解析】先分离，，再根据范围得不等式，解得的范围，即得的最大值

【详解】

因为，所以

因为，所以,

因此的最大值为.

【点睛】

本题考查基本不等式以及解不等式，考查基本分析转化与求解能力,属基本题.

15．【答案】

【解析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.

【详解】

，

结合可知原式，

且

，

当且仅当时等号成立.

即最小值为.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．