北师大版（2019）必修第一册3-1不等式的性质课时作业含答案2

【名师】3.1 不等式的性质-1课时练习

一．填空题

1．当且仅当______时，函数取得最小值．

2．若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．

3．若，，，则下列不等式：

；；；，

其中成立的是______写出所有正确命题的序号

4．设正实数x，y，z满足，则的最小值为______

5．设，，若，则的最小值为_____________.

6．已知两个正实数使，则使不等式恒成立的实数m的取值范围是____________．

7．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．

8．已知各项均为正数的两个无穷数列和满足： ，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是____________．

9．已知正实数满足 ，当取最小值时，的最大值为__________.

10．已知，，且，则的最大值等于__________．

11．如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______

12．已知，，且，则的最小值等于______．

13．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为_______．

14．若a，b为正实数，且，则的最小值为______

15．已知两个正数x，y满足，则使不等式恒成立的实数m的范围是______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用基本不等式时，等号成立，即时，得出x的值．

【详解】

由于，由基本不等式可得，

当且仅当，即当时，等号成立．

故答案为：．

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正．二定．三相等”，考查计算能力，属于基础题．

2．【答案】4

【解析】推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．

【详解】

解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），

∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），

∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），

解得a=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则．不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．【答案】①③④

【解析】解：对于2，令a=1,b=1,不成立，因此2错误。

而命题1,3,4利用均值不等式我们可以得到成立。

4．【答案】7

【解析】由题意可得z＝x2+3xy+4y2，则3，由基本不等式计算可得所求最小值．

【详解】

正实数x，y，z满足x2+3xy+4y2﹣z＝0，

可得z＝x2+3xy+4y2，

则3

≥3+27，

当且仅当x＝2y时，上式取得等号，

则的最小值为7.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查函数的最值的求法，注意运用变形和基本不等式，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．

5．【答案】

【解析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.

【详解】

由题意，因为满足，

所以，且，

则，

当且仅当且，即时取得最小值.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

6．【答案】

【解析】∵，等号仅当，即时成立，∴ m≤.

7．【答案】2

【解析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可

【详解】

正实数x，y满足，

，

，

当且仅当，即，时，取等号，

的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题

8．【答案】①③④

【解析】首先利用基本不等式求得，然后分类讨论的取值范围，由此证得的公比为.利用反证法证得，同时求得，由此得出正确正确结论.

【详解】

因为，

所以①，下证等比数列的公比.

若，则，则当时，，此时，与①矛盾；

若，则，则当时，此时，与①矛盾.

故，故.下证，若，则，于是，

由得，所以中至少有两项相同，矛盾.

所以，所以，

所以正确的序号是①③④.

【点睛】

本小题主要考查基本不等式的运用，考查分类讨论的思想方法，考查反证法等知识，属于难题.

9．【答案】

【解析】利用基本不等式可得当且仅当时有最小值3，从而得到，利用二次函数的性质可得其最大值.

【详解】

由基本不等式有，因，故，

当且仅当时等号成立，故有最小值3，

此时，故，

故当时，有最大值为，故填.

【点睛】

应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，求最值时要注意等号成立的条件是什么.

10．【答案】8

【解析】运用基本不等式的变形，化简整理即可得所求最大值。

【详解】

且

则

当且仅当 ，取得等号

则 的最大值为8

故答案为8

【点睛】

本题主要考查的是基本不等式的合理运用及其变形。

11．【答案】

【解析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果.

【详解】

依题意得：，

则

当且仅当即时取等号，故

本题正确结果：

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果.

12．【答案】11

【解析】分析：构造基本不等式模型，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.

详解： ，

，， ，，    

，当且仅当时取等号.

.

      的最小值等于11.

故答案为11.

点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.

13．【答案】

【解析】由等式x+4y﹣xy＝0，变形得，将代数式x+y与代数式相乘并展开，利用基本不等式可求出x+y的最小值，从而可求出m的取值范围．

【详解】

由于x+4y﹣xy＝0，即x+4y＝xy，等式两边同时除以xy得，，

由基本不等式可得，

当且仅当，即当x＝2y=6时，等号成立，

所以，x+y的最小值为9.

因此，m≤9.

故答案为：m≤9.

【点睛】

本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．

14．【答案】

【解析】由已知可得，，利用基本不等式即可求解

【详解】

解：，且，，

则，

当且仅当且，即，时取得最小值

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键

15．【答案】

【解析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．

【详解】

由题意知两个正数x，y满足，

则，当时取等号；

的最小值是，

不等式恒成立，．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．