北师大版（2019）必修第一册3-1不等式的性质随堂作业含答案3

【基础】3.1 不等式的性质-1随堂练习

一．填空题

1．已知正数满足，则的取值范围是_____.

2．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小为______．

3．已知向量，且，若实数均为正数，则最小值是______

4．已知实数，且，则的最小值为____

5．若对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．

6．已知正数满足，则的最大值是__________．

7．若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

8．已知，则的取值范围为_____．

9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．

10．设，，为自然对数的底数，若，则的最小值是________.

11．已知，，若，则的最小值为      ．

12．设正实数满足，则的最小值为________

13．已知圆：（为正实数）上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，则的最小值为______．

14．如果a>b，给出下列不等式：

①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.

其中一定成立的不等式的序号是________．

15．已知x，，求的最值．

甲．乙两位同学分别给出了两种不同的解法：

甲：

乙：

你认为甲．乙两人解法正确的是______．

请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲．乙的解法都正确．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】 ，

因为 ，所以

实数c的取值范围是.

2．【答案】3

【解析】先判断出函数在其定义域上是增函数且是奇函数，从而可得，化简所求式子，从而利用基本不等式求最小值．

【详解】

，

，

函数为R上的奇函数，

又在其定义域上是增函数，

，

，

，

故，

，，

则，

当且仅当且，即，时，等号成立，

故答案为：3

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用及函数的单调性与奇偶性的判断与应用，属于基本知识的简单综合．

3．【答案】16

【解析】根据向量的平行的得到3x+y＝1，再根据基本不等式即可求出答案．

【详解】

解：∵向量，且，

∴1×（1﹣y）＝3x，

∴3x+y＝1.

∴（）（3x+y）＝1010+216，当且仅当x时取等号，

故的最小值是16，

故答案为：16.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题，是基础题目．

4．【答案】

【解析】由a+b＝2得出b＝2﹣a，代入代数式中，化简后换元t＝2a﹣1，得2a＝t+1，得出1＜t＜3，再代入代数式化简后得出，然后在分式分子分母中同时除以t，利用基本不等式即可求出该代数式的最小值．

【详解】

解：由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，

所以，，

令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，

所以，．

当且仅当，即当时，等号成立．

因此，的最小值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．

5．【答案】

【解析】当时，不等式显然成立；当时，不等式恒成立等价于恒成立，运用基本不等式可得的最小值，从而可得的范围．

【详解】

当时，不等式显然成立；

当时，不等式恒等价于恒成立，

由，

当且仅当时，上式取得等号，即有最小值，

所以，故答案为

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题．分类讨论思想和分离参数的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.

6．【答案】-3

【解析】由基本不等式，可得有最大值，从而得解.

【详解】

正数满足，

又，解得.

当且仅当，即时，有最大值.

从而有最大值.

故答案为：-3.

【点睛】

本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.

7．【答案】18

【解析】转化已知为右边是的式子，然后去乘以，再利用基本不等式求得最小值.

【详解】

由得，，即，所以，当且仅当，即时等号成立.故最小值为.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，主要的方法是“”代换的方法，属于基础题.

8．【答案】

【解析】由不等式的性质进行求解即可．

【详解】

∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].

故答案为：[﹣9，0]

【点睛】

本题考查了不等式性质的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题．

9．【答案】

【解析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.

【详解】

的值域为，

，

，

，

，

当，即是等号成立，

所以的最小值为，

故答案为.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）．“定”（不等式的另一边必须为定值）．“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

10．【答案】

【解析】运算=1，将变形，利用分母的和为定值，将乘以，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】

=1，

，.

故答案为.

【点睛】

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了微积分基本定理，积分的运算，属于中档题．

11．【答案】

【解析】利用基本不等式，可求．

【详解】

∵a＞0，b＞0，a+b＝4，

又，

则a2+b2≥8，即最小值为8.当且仅当a=b=2时取得，

故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式，求解最值的应用，属于中档题．

12．【答案】8

【解析】根据基本不等式求最小值.

【详解】

令，

则

当且仅当时取等号.即的最小值为8.

【点睛】

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

13．【答案】

【解析】结合题意可知，直线过圆心，得到a,b的关系，代入，计算最小值，即可。

【详解】

结合题意可知该直线过圆的圆心，代入直线方程，得到

，故最小值为

【点睛】

考查了基本不等式的运用，关键得出a,b的关系式，代入所求式子，即可，难度中等。

14．【答案】②⑥

【解析】对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.

【详解】

令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.

【点睛】

本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.

15．【答案】甲

【解析】乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误，甲正确．

【详解】

解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；

②已知x，，求的最小值．

甲：，

乙：．

故答案为：甲．

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误，属中档题．