北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式课时训练

【名师】3.2 基本不等式-3作业练习

一．填空题

1．等腰三角形一腰的中线长为，则该三角形面积的最大值为______________

2．已知过点的直线与两坐标轴正半轴相交，则直线与坐标轴围成的三角形面积最小值为_____．

3．若非零实数满足条件，则下列不等式一定成立的是_______．① ；②；    ③；④；⑤.

4．已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_______．

5．已知，若点在直线上，则的最小值为___________.

6．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______________.

7．设，则的最小值为______.

8．当时，的最大值为__________.

9．已知为正实数且，若不等式对任意正实数恒成立，则的取值范围是_________．

10．若正实数，满足，则的最大值为______.

11．若，均为正实数，则的最小值为_______.

12．若，，且，则 最小值是_____．

13．已知正数，满足，则的最小值是__________．

14．若实数，满足，则的最小值为______．

15．已知，则的最小值为_______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】建立平面直角坐标系，假设出各点坐标，得到向量，利用得到满足的关系；利用表示出三角形面积后，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出最大值.

【详解】

由题意，建立如下图所示的平面直角坐标系：

设，，

为中点       

当且仅当，即时取等号

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用基本不等式解决几何中的最值问题，关键是能够通过长度关系得到满足的关系式，从而利用基本不等式求解积的最大值的方法得到所求最值.

2．【答案】8

【解析】设直线方程的截距式：，由题意得，利用基本不等式求出ab的最小值则面积的最小值即可

【详解】

设直线l的方程为（a＞0，b＞0）

∵P（1，4）在直线l上

∴，即，当且仅当时，即b＝8，,a＝2时，等号成立

故

故答案为8

【点睛】

本题着重考查了直线的截距式方程．基本不等式求最值等知识，属于中档题．

3．【答案】④⑤

【解析】可以利用不等式的性质或者特殊值求解.

【详解】

对于①，若，则，故①不正确；

对于②，若，则，故②不正确；

对于③，若，则，故③不正确；

对于④，由为增函数，，所以，故④正确；

对于⑤，由为减函数，，所以，故⑤正确；

所以正确的有④⑤.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，不等式的正确与否一般是利用特殊值来验证.

4．【答案】11

【解析】对变形为，再转化为，利用基本不等式即可求得最小值，问题得解。

【详解】

因为，且都是正实数.

所以

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值，还考查了化简．计算能力，属于中档题。

5．【答案】

【解析】由在直线上，可得，设，则，原式化为，展开后利用基本不等式可得结果.

【详解】

在上，

，，

，

设，则，

，

当，即时，“=”成立，

，

即的最小值为，故答案为.

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

6．【答案】1

【解析】∵ 函数的图象恒过定点

∴

∵点在直线上

∴

∵，

∴，当且仅当即时，取等号

∴的最小值为1

故答案为1

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

7．【答案】

【解析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。

【详解】

，

当且仅当，即时成立，

故所求的最小值为。

【点睛】

使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。

8．【答案】-3.

【解析】将函数的表达式改写为：利用均值不等式得到答案.

【详解】

当时，

故答案为：-3

【点睛】

本题考查了均值不等式，利用一正二定三相等将函数变形是解题的关键.

9．【答案】

【解析】两次用基本不等式可求得.

【详解】

原不等式等价于恒成立，

由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，

故，又，

当且仅当时等号成立，故，填.

【点睛】

应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.

10．【答案】

【解析】 ，即

又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为 ，即 ，那么，所以 的最大值是 .

【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再 ，构造1来求最值.

11．【答案】

【解析】将所求式子变为，利用基本不等式可求得，则可知当时，可求得最小值.

【详解】

当，即时

取得最小值为：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.

12．【答案】13

【解析】由题得 ，进而，结合基本不等式求解即可

【详解】

由题得 ，故

又，当且仅当x=8,y=5,等号成立

故答案为13

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，考查换元思想，准确计算变形是关键，是中档题

13．【答案】

【解析】由已知可得，，从而，利用基本不等式即可求解．

【详解】

∵ 正数，满足，

∴ ，

则，

当且仅当且即，，时取得最小值．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是进行1的代换．

14．【答案】4

【解析】根据，直接利用基本不等式求解即可.

【详解】

因为，

所以，当时取“”，

所以的最小值为4，故答案为4.

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于简单题.利用基本不等式求最值时，一定要注意等号能否成立.

15．【答案】

【解析】运用基本不等式求出结果

【详解】

因为，所以，，所以，所以最小值为

【点睛】

本题考查了基本不等式的运用求最小值，需要满足一正二定三相等