高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式综合训练题

【精编】3.2 基本不等式-2作业练习

一．填空题

1．已知两个正实数x，y满足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________

2．已知实数满足，则的取值范围是________.

3．若，且，则的最小值为_______.

4．已知，，且，则的最小值为________.

5．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为___．

6．若正实数，满足，则的最小值是________.

7．已知均为正数，则的最大值为______________.

8．已知，，则二元函数的最小值为___________.

9．已知且，则的最小值为        ．

10．已知，，，则的最小值为______．

11．已知函数在时取得最小值，则________．

12．若点在直线上,其中,则的最小值为____.

13．已知，，，则的最小值为__________．

14．已知都为正实数，且，则的最小值为______．

15．若对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是_______________.

参考答案与试题解析

1．【答案】(-∞,4)

【解析】由x+2y（x+2y）（）（4），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．

【详解】

两个正实数x，y满足2，

则x+2y（x+2y）（）（4）

（4+2）＝4，

当且仅当x＝2y＝2时，上式取得等号，

x+2y﹣m＞0，即为m＜x+2y，

由题意可得m＜4.

故答案为：（﹣∞，4）．

【点睛】

本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．

2．【答案】

【解析】令，构造方程组求出，的值，进而根据不等式的基本性质可得的范围。

【详解】

令，则，解得：，

即，

，

，，

，即，

故答案为：

【点睛】

本题考查不等式的性质，利用待定系数法，结合不等式的基本性质是解决本题的关键，属于基础题。

3．【答案】

【解析】将变换为，展开利用均值不等式得到答案.

【详解】

若，且，则

时等号成立.

故答案为

【点睛】

本题考查了均值不等式，“1”的代换是解题的关键.

4．【答案】

【解析】由，可得，然后利用基本不等式可求出最小值.

【详解】

因为，所以，当且仅当，时取等号.

【点睛】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③等号取得的条件.

5．【答案】9

【解析】由对立事件的性质可得，由此利用基本不等式，即可求得的最小值，得到答案。

【详解】

由事件互为对立事件，其概率分别，且，

所以，

所以，

当且仅当时，即是取等号，

所以的最小值为。

【点睛】

本题主要考查了对立事件的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中对立事件及基本不等式的性质的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

6．【答案】

【解析】将配凑成，由此化简的表达式，并利用基本不等式求得最小值.

【详解】

由得，所以.当且仅当，即时等号成立.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

7．【答案】

【解析】根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.

【详解】

（当且仅当

且时取等号）,

（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.

【点睛】

本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.

8．【答案】

【解析】直接利用不等式： 化简即可。

【详解】

根据均值不等式：

所以有

当且仅当 时取等号。

【点睛】

直接利用不等式：化简。属于中档题

9．【答案】

【解析】

10．【答案】

【解析】利用代入消元法可将问题转化为求解的最小值问题，根据且求得，采用换元的方式将问题转化为求解，的最小值，利用基本不等式求得结果.

【详解】

由得：，由得：   

令，由得：，即   

当时，

当且仅当，即时取等号

即   

本题正确结果：

【点睛】

本题考查函数最值的求解问题，关键是能够将问题转化为分式型函数的最值求解问题，通过换元将问题转化为符合基本不等式的形式，从而利用基本不等式求解出函数的最值；易错点是在换元时没有准确求解新参数的取值范围，从而造成求解错误.

11．【答案】

【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得

考点：基本不等式

12．【答案】8

【解析】根据点A与直线mx+ny+1＝0的关系建立m，n的关系，利用基本不等式即可求的最小值．

【详解】

解：∵点在直线上，

∴，

即，

当且仅当，即n＝2m时取等号，

∴的最小值为8，

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，利用点与直线的关系得到2m+n＝1是解决本题的关键，注意不等式成立的条件，属于基础题.

13．【答案】8

【解析】由题意可得：

则的最小值为.

当且仅当时等号成立.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

14．【答案】9

【解析】将通分整理代入所求式子，配凑基本不等式形式求解即可

【详解】

则 且，则=，当且仅当等号成立

故答案为9

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，将条件灵活变形是关键，是中档题

15．【答案】

【解析】根据（）代入中求得的最大值，进而得到实数的取值范围。

【详解】

因为，所以（当且仅当时取等号）；

所以，即的最大值为，即实数的取值范围是 ；

故答案为：

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题的解题方法，解题关键是利用基本不等式求出的最大值，属于中档题。