北师大版 (2019)第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式练习题

【优选】3.2 基本不等式-3作业练习

一．填空题

1．已知，当______________.时，取得最小值.

2．若，则的最小值是_____．

3．已知正实数满足，则的最小值为_______．

4．已知，那么的最小值为______.

5．若，，，且的最小值是___.

6．已知，函数的最小值为__________．

7．已知正数，满足，则的最小值为________.

8．设实数，，，满足，，则的取值范围是_____．

9．设函数．若，则________．

10．已知，且，则的最小值为________.

11．在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．

12．若为正实数，则的最大值为_______．

13．甲乙两地相距km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不能超过km/h.已知汽车每小时运输成本为元,则全程运输成本与速度的函数关系是______,当汽车的行驶速度为______km/h时,全程运输成本最小.

14．若，则的最小值为______．

15．已知，则的最小值是__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由可得，原式化为，展开后利用基本不等式求最值，根据等号成立的条件求解即可.

【详解】

，

，

，

当且仅当时“=”成立，

又，

可得，

，

，

，故答案为.

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

2．【答案】

【解析】由已知可知，然后利用基本不等式即可求解．

【详解】

解：，

，（当且仅当取等号）

故答案为．

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．

3．【答案】

【解析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

【详解】

解：∵正实数满足，

∴（2a+b），当且仅当时取等号．

∴的最小值为

故答案为．

【点睛】

本题考查了“乘1法”和基本不等式的应用，属于基础题．

4．【答案】4

【解析】先用基本不等式求出的最大值，进而求出的最小值，再利用基本不等式求出的最小值.

【详解】

因为，所以，当且仅当时取等号，所以有成立，因此

（当且仅当时取等号），所以的最小值为4.

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求代数式的最值问题，关键是记住用基本不等式要注意三点:一是必须是二个正数；二是要有定值；三是相等的条件.

5．【答案】9

【解析】根据基本不等式的性质，结合乘“1”法求出代数式的最小值即可．

【详解】

∵，，，

,当且仅当 时“=”成立，故答案为9.

【点睛】

本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于基础题．

6．【答案】5

【解析】变形后利用基本不等式可得最小值。

【详解】

∵，∴ 4x-5>0,

 ∴

当且仅当时，取等号，即 时，有最小值5

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，凑出可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”的法则。

7．【答案】

【解析】由，可得且，则，利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】

由，可得且，

则

，（当且仅当即时取“=”）.

故的最小值为.

【点睛】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③等号取得的条件.

8．【答案】

【解析】用表示，再根据基本不等式求出的取值范围后可求的取值范围.

【详解】

因为，

所以，故，

又，所以，

整理得到即，

又，故在为增函数，

当时，；当时，；

所以的取值范围是

【点睛】

多元变量的最值问题，基本的处理策略是利用消元法尽量降低变元的个数，从而把问题归结为一元函数的值域，另外消元时可用整体消元的方法且需注意变量范围的传递.

9．【答案】2

【解析】根据二次函数性质，得到的最小值，由基本不等式，得到的最小值，再结合题中条件，即可得出结果.

【详解】

因为，当时，取最小值；

又时，，当且仅当，即时，取最小值；

所以当时，取最小值.

即时，.

故答案为2

【点睛】

本题主要考查函数最值的应用，熟记二次函数性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.

10．【答案】

【解析】将1用代换,再利用均值不等式得到答案.

【详解】

，

当时等号成立.

故答案为9

【点睛】

本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.

11．【答案】12

【解析】根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示出菱形的各点，由BE的长度利用基本不等式求出菱形ABCD面积的最大值．

【详解】

解：以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

在菱形ABCD中，设，，，

则，，，，

又E为CD边的中点，则，

，

，

，

由基本不等式有，，

，当且仅当时取“”，

即，

菱形ABCD的面积为，

即菱形面积的最大值为12.

故答案为：12.

【点睛】

本题考查了菱形的面积计算问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．

12．【答案】

【解析】设恒成立，可知；将不等式整理为，从而可得，解不等式求得的取值范围，从而得到所求的最大值.

【详解】

设恒成立，可知

则：恒成立

即：恒成立

，   

解得：    的最大值为：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查最值的求解问题，关键是能够将所求式子转化为不等式恒成立的问题，从而构造出不等式求解出的取值范围，从而求得所求最值，属于较难题.

13．【答案】     100 

【解析】由已知可得汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为，结合汽车每小时运输成本为元，可得全程运输成本与速度的函数关系式，再由基本不等式可得时，取最小值.

【详解】

甲乙两地相距，

故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为，

又由汽车每小时运输成本为元，

则全程运输成本与速度的函数关系是，

由基本不等式得，

当且仅当，即时，取最小值,

故答案为，.

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

14．【答案】8

【解析】根据基本不等式求最值.

【详解】

因为，所以, 当且仅当时取等号,即的最小值为8.

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．【答案】

【解析】分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.

详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.

点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.