高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数课后作业题

【基础】4.1 一元二次函数-2作业练习

一．填空题

1．函数的单调递减区间是__________.

2．若a，，则不等式的解集是________.

3．已知二次函数的图象为开口向上且对称轴是的抛物线，则，，的大小关系是________.

4．不等式的解集为_____．

5．已知关于的不等式的解集是，则_____.

6．不等的解集是________．

7．在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1对任意非零实数x恒成立,则实数的最大值为____.

8．不等式对一切实数x成立，则k的取值范围是________

9．不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围_________

10．某产品的总成本（万元）与产量(台)之间有函数关系式，其中．若每台产品售价为万元，则生产者不亏本的最低产量为___台．

11．已知不等式的解集为或，则________.

12．写出一个一元二次不等式，使它的解集为________．

13．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是__________.

14．若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是_____.

15．不等式的解集是______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先将二次函数配方，明确开口方向和对称轴求解即可.

详解：

因为二次函数开口方向向上，对称轴为，

所以其单调递减区间为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查二次函数的单调性，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.

2．【答案】

【解析】根据分式不等式的性质，分或，即可得到结论.

详解：若，则不等式等价为，即；

若，则不等式等价为，即，

即不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查分式不等式的解法，注意要对的取值进行讨论，属于基础题.

3．【答案】

【解析】由题意结合二次函数对称性可得，再利用二次函数的单调性即可得解.

详解：二次函数的图象开口向上且对称轴是，

函数在上单调递增，且，

又，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与性质的应用，关键是对条件的合理转化，属于基础题.

4．【答案】（或写成）

【解析】根据一元二次不等式的解法解不等式即可．

详解：原不等式等价于：

即，可得．

故答案为（或写成）

【点睛】

解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．

5．【答案】

【解析】先由题意得到不等式等价于，不等式的解集得到和是关于的方程的两个根，进而可求出结果.

详解：因为不等式等价于，

又其解集是，

所以和是关于的方程的两个根，

因此，解得，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.

四．双空题

6．【答案】

【解析】首先可以根据分母不能为得出，然后将转化为，最后通过求解即可得出结果.

详解：因为，所以，

，即，，

解得，

故答案为.

【点睛】

本题考查分式不等式的解法，可将分式不等式转化为乘法的形式，要注意分母不能为，考查计算能力，是简单题.

7．【答案】

【解析】详解：原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1恒成立，

即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意非零实数x恒成立,x2-x-1=(x-)2-≥-,

所以-≥a2-a-2,解得-≤a≤.则实数a的最大值为，即.

点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理．

8．【答案】

【解析】不等式对一切实数成立，分与讨论即可求得答案.

【详解】

∵对任意的实数恒成立，

∴当时，对任意实数都成立；

当时，，解得：，

综上所述，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式函数恒成立问题，对二次项系数是否为进行讨论是解题的关键，属于基础题．

9．【答案】

【解析】根据题意，分2种情况讨论：1°若a2﹣1＝0，则a＝±1，分别验证a＝1或﹣1时，是否能保证该不等式满足对任意实数x都成立，

2°若a2﹣1≠0，不等式（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0为二次不等式，结合二次函数的性质，解可得此时a的范围，综合可得答案．

详解：根据题意，分2种情况讨论：

1°若a2﹣1＝0，则a＝±1，

当a＝1时，不等式（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0为：﹣1≤0，

满足对任意实数x都成立，则a＝1满足题意，

当a＝﹣1时，不等式（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0为：﹣2x≤0，

不满足对任意实数x都成立，则a＝﹣1不满足题意，

2°若a2﹣1≠0，不等式（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0为二次不等式，

要保证（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0对任意实数x都成立，

必须有，

解可得：a＜1，

综合可得a≤1，

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的性质，注意要讨论二次项的系数．

10．【答案】

【解析】利用题设条件求出利润，解不等式可得的最小值.

详解：设利润为万元，则，其中，

令，则有，也就是，

解得或（舎），

所以至少生产台.

【点睛】

对于数学应用题，我们应根据题设条件选用合适的数学模型（如二次函数．分段函数等），注意根据要求去解数学模型.

11．【答案】

【解析】先化简分式不等式，再等价于一元二次不等式，结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，转化为对应方程的根，即可求出的值.

详解：由，得，

等价于，

不等式的解集为或，

和为方程的两个实数根，

，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了分式不等式的解法以及一元二次不等式的解法，考查了转化思想，属于基础题.

12．【答案】

【解析】设满足题意的一元二次不等式为，则由题可知，方程的两根分别为，，因此结合韦达定理即可找出系数之间的关系，从而写出满足题意的不等式.

详解：设满足题意的一元二次不等式为，

因为不等式的解集为，

所以方程的两根分别为，，

所以，

令，则，，

故满足题意的一个不等式为：（答案不唯一）.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解集与对应二次方程的根之间的关系，考查韦达定理的应用，属于基础题.

13．【答案】

【解析】已知关于的不等式的解集是，可得，且，然后对不等式变形后求解即可.

【详解】

由题意关于的不等式的解集是，可得，且，

可变为，即得 ，

∴，不等式的解集是，

故答案为：.

【点睛】

本题考查一元一次不等式．一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于常考题.

14．【答案】

【解析】对是否等于0分类讨论，若，不等式解集为R，若，根据已知可得，求解即可.

详解：a＝0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0化为，解集为R；

a≠0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时，

应满足，

解得；

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查已知不等式的解集求参数范围，掌握一元二次不等式的解与之对应的条件是解题的关键，考查分类讨论思想，属于基础题.

15．【答案】

【解析】将分式不等式转化为，由一元二次不等式的解法求解即可.

详解：由，则，解得

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了解分式不等式，涉及了一元二次不等式的解法，属于中档题.