北师大版 (2019)必修 第一册4.2 一元二次不等式及其解法精练

【优选】4.2 简单幂函数的图象和性质-1作业练习

一．填空题

1．设是上的奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集是______.

2．函数定义域在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是__________．

3．已知函数是偶函数，则___________.

4．已知函数是奇函数，则的解集为_______．

5．设函数，且，则等于______．

6．已知函数是奇函数，函数是偶函数，，则不等式的解集为______.

7．已知定义域为的奇函数，则的解集为__________.

8．设函数（），给出以下四个结论：

（1）函数的图象关于坐标原点对称；

（2）当，时，函数的最大值为1；

（3）当，时，函数在上单调递增；

（4）当，时，使得成立的x的取值范围是；

其中，正确结论的个数为______

9．已知偶函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为_________．

10．已知函数是奇函数，则______.

11．已知是奇函数，当时，，若，则___________.

12．已知函数，若，则____________.

13．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围为________．

14．写出一个最大值为的偶函数，即___________．

15．已知函数，若，则实数的取值范围____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：构造函数，分析函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，且在上为增函数，然后分．解不等式，即可得出原不等式的解集.

详解：构造函数，该函数的定义域为，且．符号相同，

不等式等价于，

，故函数为奇函数，

当时，，即函数在上为增函数，

因为函数为奇函数，故函数在上为增函数，

因为，则，故.

当时，由可得，此时，；

当时，由可得，此时.

又因为，因此，不等式的解集为.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】分析：分析当时函数的单调性，结合偶函数的性质及特殊值，将等价转化为，然后求解即得.

详解：当时，，为单调递减函数，

又∵函数定义域在上的偶函数，且，

∴等价于，又等价于，

即或，∴x≤1或x≥3，

即满足的的取值范围是，

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：首先利用奇偶性求得，然后求得.

详解：依题意是偶函数，所以，

所以，整理得，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：根据题意，求出的表达式，由奇函数的定义可得，变形计算可得的值，再判断函数的单调性，再根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可．

详解：解：根据题意，函数，则，

若为奇函数，则有，

解得：，

所以，

又当时单调递增，且，根据奇函数的性质可得在上单调递增，

因为，所以，解得，即原不等式的解集为；

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：构造函数，然后利用函数的奇偶性求值．

详解：设，则，所以是奇函数，

，所以，．

故答案为：．

6．【答案】

【解析】分析：先根据函数的奇偶性的定义求得函数的解析式，再由对数函数的单调性建立不等式，解之可求得答案.

详解：因为函数是奇函数，函数是偶函数，所以，，

由，得，

两式相加可得：，

所以，

时，为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，又为偶函数，

故由，得，则，解得，所以所求不等式的解集为.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.

详解：由题知，，

则恒成立，即，，

又定义域应关于原点对称，则，解得，

因此，，易知函数单增，

故等价于

即，解得

故答案为：

8．【答案】2

【解析】分析：（1）利用定义判断函数的奇偶性；（2）通过不等式求函数最值；（3）利用运算的方法判断函数单调性；（4）利用奇偶性与单调性解抽象不等式．

详解：解：（1）因为定义域为，

且，所以为偶函数，图象关于轴对称，故（1）错误；

（2）当，时，；因为，所以，故（2）正确；

（3）当，时，且当时，；

因为函数在，上单调递减，函数在，上单调递增，

所以在，上单调递减，故（3）错误；

（4）当，时，且当时，，所以在，上单调递增；

又因为为偶函数，所以不等式等价于，

两边平方得，整理得，解得，故（4）正确；

故答案为：2；

9．【答案】，或，或

【解析】分析：由已知条件构造函数，求导后可判断出在上单调递增，在上单调递减，由，可得，由为偶函数，可判断出为偶函数，而不等式转化为，偶函数的性质可得，从而可求出的范围，再由可得，进而可求出不等式的解集

详解：解：令，则，

因为对任意的都有，

所以当，，当，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，

因为为偶函数，所以，

所以，

所以为偶函数，

所以由，所以，所以，解得或，

因为，所以，

综上，，或，或，

所以不等式的解集为，或，或.

故答案为：，或，或

10．【答案】1

【解析】分析：利用奇函数的定义可得，求参数的值.

详解：函数是奇函数，

则

则

所以

故答案为：1

11．【答案】

【解析】分析：根据是奇函数，可得，再由解析式可得即可得答案；

详解：由是奇函数，则，

则

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：构造函数，分析的奇偶性，然后根据的取值特点计算出的值.

详解：令，定义域为关于原点对称，

，所以为奇函数，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

13．【答案】

【解析】分析：首先判断出函数的奇偶性和单调性，由此化简不等式并求得的取值范围.

详解：由，得，

所以是上的奇函数．

又，当且仅当时取等号，

所以在其定义域内单调递增．

因为，所以，

所以，解得，故实数的取值范围是．

故答案为：

【点睛】

求解函数不等式有关问题，可通过函数的奇偶性和单调性去掉函数符号，再解不等式求得参数的取值范围.

14．【答案】（答案不唯一）

【解析】分析：根据题设要求，写出一个定义域上且为偶函数的解析式即可.

详解：对于，

15．【答案】

【解析】分析：先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性解不等式即可得答案.

详解：解：函数的定义域为,，所以函数为奇函数，

当时，，

所以函数在区间上单调递增，

所以函数在上单调递增，

所以等价于，

所以，解得.

所以实数的取值范围为

故答案为：