高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性习题

【优选】4.1 函数的奇偶性-2练习

一．填空题

1．已知函数(，且)的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则__________.

2．若幂函数的图象关于原点对称，则的取值为__.

3．已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范围为_________．

4．已知幂函数的图象经过，则___________.

5．已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是___________.

6．已知幂函数在区间上递增，则实数___________.

7．已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．

8．已知当x∈(-1，0)∪(0，1)时，不等式恒成立，则满足条件的a形成的集合为_____.

9．已知函数，.下列四个命题：

①，使为偶函数；

②若，则的图象关于直线对称；

③若，则在区间上是增函数；

④若，则函数有两个零点.

其中所有真命题的序号是___________.

10．幂函数在定义域内为奇函数且在区间上单调递减，则________．

11．已知幂函数的图象经过点，则________.

12．已知幂函数f(x)=(？3m？3)在(0，+∞)上为增函数，则m值为___________.

13．已知幂函数在区间上单调递减，则___________.

14．定义在R上的奇函数满足，当时，，则当时，不等式的解为___________.

15．已知幂函数的图象经过点，则的值为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先求出定点的坐标，再代入幂函数，即可求出解析式.

详解：令可得，此时，

所以函数(，且)的图象恒过定点，

设幂函数，则，解得，

所以，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是利用指数函数的性质和图象的特点得出，设幂函数，代入即可求得，.

2．【答案】1

【解析】分析：根据幂函数的定义列方程求出的值，再判断函数的图象是否关于原点对称.

详解：解：幂函数中，

令，

解得或；

当时，，图象关于原点对称；

当时，，图象不关于原点对称；

所以的取值为1.

故答案为：1.

3．【答案】

【解析】分析：根据幂函数的定义，可求得a值，代入点坐标，可求得b值，根据的奇偶性和单调性，化简整理，即可得答案.

详解：因为为幂函数，所以，解得a=2

所以，又在上，代入解得，

所以，为奇函数

因为，所以，

因为在R上为单调增函数，

所以，解得，

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：由函数是幂函数求，再由函数所过点，求.

详解：∵幂函数的图象经过，∴，

且，∴，

则，

故答案为：.

5．【答案】

【解析】分析：利用函数为偶函数和单调递增可将不等式化为，进而得到，即可得到答案；

详解：因为定义在R上的偶函数在区间单调递增，

所以在单调递减；

又，

于是由，

得，

从而有，

则得，即，且，

解得：.

故a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的基本性质与求值，考查运算求解能力及函数与方程思想，求解时注意把自变量化到同一单调区间.

6．【答案】

【解析】分析：根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，由此可求得实数的值.

详解：由于幂函数在区间上递增，

则，解得.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：根据幂函数的性质列不等式，直接求解即可.

详解：由幂函数与轴及轴均无交点，

得，

解得，

又，即，

的图像关于轴对称，

即函数为偶函数，故为偶数，

所以，

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：直接利用幂函数的性质和分类讨论的应用求得结果.

详解：令，由可知，幂函数的图象在的图像上方，如果函数为奇函数，则第三象限有图象，所以不是奇函数，故不符合；

由于，所以整理得 ，所以得，故 不符合；所以即 ，

故答案为：

9．【答案】①③

【解析】分析：根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可.

详解：若为偶函数，则，

则对恒成立，则，

故①正确；

，，若，即，

则或，

若取，则关于对称，②错误；

若，函数的判别式，

即，，

由二次函数性质，知在区间上是增函数，③正确；

取，满足，则或，

解得或，即有4个零点，④错误；

故答案为：①③

【点睛】

关键点点睛：对函数的综合性质考察比较综合，除解出参数关系或值外，判断正误也可以通过取一些特殊值快速的找到答案.

10．【答案】

【解析】分析：首先根据函数的单调性，可知，，再代入验证函数的奇偶性，求的取值.

详解：在上单调递减，

，解得：，，

，

当时，在定义域内为奇函数，正确，

当时，在定义域内是偶函数，舍去，

当时，在定义域内为奇函数，正确.

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：设幂函数，将点代入函数的解析式，即可求得的解析式，进而求得.

详解：设， 幂函数的图像过点 解得:，

，

故答案为:.

12．【答案】4

【解析】分析：根据幂函数可知，解出后，再代入验证，确定的值.

详解：是幂函数，

，解得：或，

当时，，在上是减函数，不成立，

当时，，在上是增函数，成立.

故答案为：4

13．【答案】

【解析】分析：根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果．

详解：由题意，解得或，

又函数在区间上单调递减，则，∴．

故答案为：．

14．【答案】

【解析】分析：根据奇函数的性质及条件求得函数周期，从而求得时对应的函数解析式，然后解一元二次不等式即可.

详解：，函数周期为2；

当时，，

则当时，，

由知，

当时，，

故时，

则不等式即，解得，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：难点在于求得函数在对应的函数解析式，从而解一元二次不等式.

15．【答案】

【解析】分析：设幂函数的解析式为，代入点，求得，即可求解的值，得到答案.

详解：设幂函数的解析式为，

因为幂函数的图象经过点，

可得，解得，即，

所以.

故答案为：.