高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念第1课时一课一练

§3　对数函数

3.1　对数函数的概念　3.2　对数函数y=log2x的图象和性质

3.3　对数函数y=logax的图象和性质

第1课时　对数函数的概念、图象和性质

A级必备知识基础练

1.函数y=4x与y=log2x的图象关于(　　)

A.x轴对称 B.直线y=x对称

C.原点对称 D.y轴对称

2.(多选题)函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象过(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.函数y=loga(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点(　　)

A.(1,2) B.(2,1)

C.(-2,1) D.(-1,1)

4.若函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),且g(a)=,则a=(　　)

A.2 B.-2 C. D.-

5.函数f(x)=与g(x)=-log2x的大致图象是(　　)

6.已知a=,b=log2,c=lo,则(　　)

A.a>b>c B.a>c>b

C.c>b>a D.c>a>b

7.(多选题)给出下列三个等式:①f(xy)=f(x)+f(y),②f(x+y)=f(x)f(y),③f(x+y)=f(x)+f(y),下列函数中至少满足一个等式的是(　　)

A.f(x)=3x B.f(x)=log2x

C.f(x)=x2 D.f(x)=kx(k≠0)

8.已知f(x)是不恒为0的函数,定义域为D,对任意x∈D,n∈N+,都有nf(x)=f(xn)成立,则f(x)=　　　　　(写出满足条件的一个f(x)即可). 

9.若函数f(x)=log2x+2的反函数的定义域为(3,+∞),则f(x)的定义域为　　　　　. 

10.作出函数y=|log2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.

B级关键能力提升练

11.(多选题)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)图象经过点(4,2),则下列结论正确的有(　　)

A.函数为增函数

B.函数为偶函数

C.若x>1,则f(x)>0

D.若0<x1<x2,则<f

12.函数y=ln(1-x)的图象大致为(　　)

13.(多选题)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是(　　)

A.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点

B.函数y=f(x)的最小值为-4

C.函数y=f(x)的最大值为4

D.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称

14.已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)在同一直角坐标系中的图象可能是下图中的　　　　　(填序号). 

15.已知函数f(x)=|ln x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值是2,则的值为　　　　　. 

16.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;

(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.

C级学科素养创新练

17.已知函数f(x)=a·2x+b的图象过点A,B.

(1)求函数y=f(x)的反函数y=g(x)的解析式;

(2)若F(x)=g(2x-1)-lof(x),求使得F(x)≤0的x的取值范围.

第1课时　对数函数的概念、图象和性质

1.B　因为log2x=log4x,且函数y=4x与y=log4x互为反函数,故函数y=4x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.

2.BCD　因为0<a<1,所以函数y=logax的图象单调递减,在y轴右侧,过定点(1,0).

函数f(x)=loga(x+2)的图象是把y=logax的图象向左平移2个单位长度,所以图象过第二、三、四象限.

3.D　令x+2=1,得x=-1,此时y=1.故图象过定点(-1,1).

4.B　由题意,得g(x)=2x.

∵g(a)=,∴2a=,

∴a=-2.

5.A　因为函数f(x)=是减函数,过点(0,1),函数g(x)=-log2x=lox是减函数,过点(1,0),且两函数图象关于y=x对称,所以A选项中的函数图象符合题意,故选A.

6.D　∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选D.

7.ABD　对于A,f(x+y)=3x+y=3x·3y=f(x)·f(y),符合②;

对于B,f(xy)=log2(xy)=log2x+log2y=f(x)+f(y),符合①;

对于C,不满足任何一个等式;

对于D,f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y),符合③.

故选ABD.

8.log2x

9.(2,+∞)　因为f(x)的反函数的定义域为(3,+∞),所以f(x)=log2x+2的值域为(3,+∞),

所以log2x+2>3,所以x>2,所以f(x)的定义域为(2,+∞).

10.解先作出函数y=log2x的图象,如图①.再将y=log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变),得函数y=|log2x|的图象,如图②;然后将y=|log2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log2x|+2的图象,如图③.由图③得函数y=|log2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).

11.ACD　由题知2=loga4,a=2,故f(x)=log2x,函数为增函数,故A正确;

f(x)=log2x不为偶函数,故B错误;

当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确;

根据f(x)=log2x的图象,知若0<x1<x2,则<f成立,故D正确.

12.C　函数的定义域为(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.

13.AB　令(log2x)2-log2x2-3=0,即(log2x)2-2log2x-3=0,解得log2x=3或log2x=-1,即x=8或x=,A正确;

由f(x)=(log2x)2-2log2x-3=(log2x-1)2-4≥-4,即函数f(x)的最小值为-4,无最大值,B正确,C错误;

由可知f(1)≠f(3),所以函数y=f(x)的图象不关于直线x=2对称,D错误.故选AB.

14.②　(方法一)首先,曲线y=ax位于x轴上方,y=loga(-x)位于y轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.

(方法二)若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.

若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有②满足条件.

(方法三)如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象,又y=logax与y=ax互为反函数(两者图象关于直线y=x对称),则可直接选②.

15.e2　由题意以及函数f(x)=|lnx|的性质可得-lnm=lnn,所以=n,且0<m<1<n.

因为函数f(x)=|lnx|在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(x)在区间[m2,n]上的最大值是2,

所以|lnm2|=2或lnn=2,

①当|lnm2|=2时,m=,又因为=n,所以n=e,此时f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,满足题意;

②当lnn=2时,n=e2,m=,此时f(x)在区间[m2,n]上的最大值为ln=4,不满足题意.综上,n=e,m==e2.

16.解(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).

由题意,f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.

又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.

(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,

即f(x)的取值范围为(-∞,0).

(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.

17.解(1)因为函数f(x)=a·2x+b的图象过点A,B,所以解得

所以f(x)=·2x+,设y=·2x+,则2y=2x+1,x=log2(2y-1),

所以y=f(x)的反函数为g(x)=log2(2x-1).

(2)F(x)=g(2x-1)-lof(x)=log2(2x-1)-lo,

F(x)≤0,即log2(2x-1)≤lo=log2,

所以解得0<x≤log2,

所以x的取值范围是(0,log2].