北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数课后测评

课时作业(十二)　一元二次函数

1．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为(　　)

A．y＝－x2＋1        B．y＝x2＋1

C．y＝－x2－1        D．y＝x2－1

答案：A　

解析：设y＝a(x－1)(x＋1)．∵过点(0,1)，

∴－a＝1，∴a＝－1，∴y＝－(x－1)(x＋1)＝－x2＋1.

故应选A．

2．一次函数y＝ax＋b与一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　　)

答案：C　

解析：若a>0，y＝ax＋b随x的增大而增大，二次函数开口向上，排除A；在B中，a>0，c＝0，－>0，∴b<0，而b<0时，y＝ax＋b在y轴上的截距小于0与B矛盾；在D中，y＝ax＋b要求a<0，而y＝ax2＋bx＋c要求a>0，故D不正确．故应选C．

3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)       B．[0,2]

C．(－∞，2]        D．[1,2]

答案：D　

解析：如图，

∵A(1,2)，B(0,3)，

∴由二次函数对称性知，1≤m≤2.

故应选D．

4．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位长度，得函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.

答案：1　

解析：y＝x2－1的图象向上平移2个单位长度，得函数y＝x2＋1的图象，则m＝1.

5．已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．

答案：－1,3　

解析：由题图知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，

所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1,0)．

所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.

6．已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a＝________.

答案：2或－1　

解析：y＝－(x－a)2＋a2－a＋1，

当a>1，x＝1时，函数取得最大值，ymax＝a；

当0≤a≤1，x＝a时，函数取得最大值，ymax＝a2－a＋1；

当a<0，x＝0时，函数取得最大值，ymax＝1－a.

根据已知条件得或或

解得a＝2或a＝－1.

7．把抛物线y＝－3(x－1)2的图象向上平移k个单位长度，所得抛物线与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，如果x＋x＝，则k＝________.

答案：　

解析：由根与系数的关系易知k＝.

8．已知一元二次函数y＝ax2＋6x－8与直线y＝－3x相交于点A(1，m)．

(1)求一元二次函数的解析式；

(2)请问(1)中的一元二次函数经过怎样平移就可以得到y＝ax2的图象？

解：(1)点A(1，m)在直线y＝－3x上，

所以m＝－3×1＝－3.

把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，

得a＋6－8＝－3，解得a＝－1.

所以一元二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－8.

(2)因为y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，

所以顶点坐标为(3,1)．

所以把一元二次函数y＝－x2＋6x－8的图象向左平移3个单位后得到y＝－x2＋1的图象，再把y＝－x2＋1的图象向下平移1个单位得到y＝－x2的图象．

9．已知一元二次函数y＝2x2－4x－6.

(1)求出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；

(2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；

(3)当x为何值时，分别满足y>0，y＝0，y<0?

解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.

因为a＝2>0，所以函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．

列表：

x,－1,0,1,2,3

y,0,－6,－8,－6,0描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示：

(2)由图象知，函数图象与x轴的交点坐标为A(－1,0)，B(3,0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)，

所以S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12.

(3)由函数图象知，

当x<－1，或x>3时，y>0；

当x＝－1，或x＝3时，y＝0；

当－1<x<3时，y<0.

10．设y＝x2＋ax＋3－a，且函数值在[－2,2]上恒取非负数，求a的取值范围．

解：y＝2＋3－a－，y≥0在x∈[－2，2]上恒成立的充要条件是函数值在x∈[－2,2]上的最小值非负．

(1)当－<－2，即a>4时，在[－2,2]上函数值随x的增大而增大，最小值在x＝－2时取得，ymin＝7－3a，由7－3a≥0，得 a≤，这与a>4矛盾，此时a不存在．

(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，在[－2，2]上函数的最小值在x＝－时取得，ymin＝3－a－，3－a－≥0⇒a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.

结合－4≤a≤4，可知此时－4≤a≤2.

(3)当－>2，即a<－4时，在[－2,2]上函数值随x的增大而减小，最小值在x＝2时取得，ymin＝7＋a，

由7＋a≥0，得a≥－7.

∵a＜－4，∴－7≤a<－4.

由(1)(2)(3)可知，a的取值范围是[－7,2]．