湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．4cm，8cm，12cm B．5cm，6cm，14cm
C．10cm，10cm，8cm D．3cm，9cm，5cm
3．（3分）从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
4．（3分）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　）

A．5 B．7 C．7.5 D．10
5．（3分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．（3分）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（　　）

A．① B．② C．③ D．①和②
7．（3分）如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．105° B．120° C．115° D．135°
8．（3分）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
9．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（3分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝2∠A，则此三角形（　　）
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE＝10，BD＝4，则DE的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．8
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有（　　）个
①∠AMD＝45°；②NE﹣EM＝MC；③EM：MC：NE＝1：2：3；④S△ACD＝2S△DNE．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为　 　．
14．（3分）如图，已知△ABC≌△ADE，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠BED的大小为　 　．

15．（3分）设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝　 　．
16．（3分）如图△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿直线DE翻折后使点A与点O重合．若∠1＝65°，∠2＝100°，则∠DOE＝　 　．

17．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　 　厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．

18．（3分）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的内角∠BCD＝　 　°．

三、解答题（本大题共有8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）（1）计算：；
（2）求x的值：4x2﹣9＝0．
20．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．
（1）求AB、AC的长；
（2）求BC边的取值范围．

21．（8分）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数．
22．（8分）如图在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点坐标分别是A（3，3），B（﹣2，2），O（0，0）．
（1）画出△AOB关于y轴对称的△COD，其中点A的对应点是点C，点B的对应点是点D，并请直接写出点C的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　；
（2）请直接写出△COD的面积是 　 　；
（3）已知点E到两坐标轴距离相等，若S△AOB＝3S△BOE，则请直接写出点E的坐标为 　 　．

23．（9分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；
（3）求∠FAE的度数．

24．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝　 　°，∠DEC＝　 　°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 　 　．（填“大”或“小”）
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

25．（10分）如图，已知等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D．点M、N在斜边BC上，AN⊥BD于点F，AM交BD于点E，且满足∠MAN＝45°，过点C作CP垂直AN的延长线于点P．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）若AD＝3，求AB的长；
（3）试探究AM与PC的数量关系，并说明理由．

26．（10分）如图，点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上，（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．

2022-2023学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（上）第一次月考数学答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．解析：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．解析：A、4+8＝12，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、6+5＜14，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、10+8＞10，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、5+3＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．解析：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2），
∴从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是：7﹣2＝5（个，
故选：C．
4．解析：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB，
∴DH＝DE＝2，
∴S△ABD＝×5×2＝5．
故选：A．

5．解析：设三个外角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k＝360°，
解得k＝40°，
∴三个外角分别为80°，120°，160°，
∴三个内角分别为100°，60°，20°，
∴这个三角形为钝角三角形．
故选：C．
6．解析：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
7．解析：∵在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD＝MD，∠ADM＝90°，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝135°，
故选：D．

8．解析：∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，
∴当AD＝AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠AEB＝∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠DCB＝∠EBC，则∠ABE＝∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD．
故选：B．
9．解析：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．

10．解析：在△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，
∴∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝60°，
故选：B．
11．解析：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AD于E，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE＝BD＝4，AD＝CE＝10，
∴DE＝AD﹣AE＝6．
故选：A．
12．解析：①∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴BD＝CD，
∵BM⊥AC，
∴∠AMB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠DBN＝90°，
∠A+∠DCM＝90°，
∴∠DBN＝∠DCM，
∵DN⊥MD，
∴∠CDM+∠CDN＝90°，
∵∠CDN+∠BDN＝90°，
∴∠CDM＝∠BDN，
∵∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，∠CDM＝∠BDN，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，
∵∠MDN＝90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴∠DMN＝45°，
∴∠AMD＝90°﹣45°＝45°，
故①正确；
②由①知，DN＝DM，
过点D作DF⊥MN于F，

则∠DFE＝90°＝∠CME，
∵DN⊥MD，
∴DF＝FN，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF与△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM（AAS），
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴FN＝CM，
∵NE﹣EF＝FN，
∴NE﹣EM＝MC，
故②正确；
③由ME＝EF，MF＝NF，
设EF＝x，则EM＝x，MC＝MF＝DF＝2x，NE＝3x，
∴EM：MC：NE＝1：2：3，
故③正确；
④如图，∵CD⊥AB，
∴∠BDE＝∠CDA＝90°，
由①知，∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，
∴△BED≌△CAD（ASA），
∴S△BED＝S△CAD，
由①知，△BDN≌△CDM，
∴BN＝CM，
∵CM＝FN，
∴BN＝FN，
∴BN＜NE，
∴S△BDN＜S△DEN，
∴S△BED＜2S△DNE，
∴S△ACD＜2S△DNE，
故④错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．解析：点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
14．解析：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝40°，
∴∠BED＝∠A+∠D＝60°+40°＝100°，
故答案为：100°．
15．解析：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|
＝a+b﹣c+b﹣c﹣a
＝2b﹣2c，
故答案为：2b﹣2c．
16．解析：由折叠可知：∠EDO＝∠1＝65°，∠AED＝∠OED，
∵∠AED+∠OED+∠2＝180°，∠2＝100°，
∴∠OED＝，
∵∠OED+∠EDO+∠EOD＝180°，
∴∠EOD＝180°﹣40°﹣65°＝75°，
故答案为75°．
17．解析：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣3t，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点Q的运动速度为2÷＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴点Q的运动速度为6÷＝厘米/秒；
故答案为：3或．

18．解析：如图，5个筝形组成一个正10边形，
所以，∠BCD＝（10﹣2）×180°÷10＝8×18°＝144°．
故答案为：144．
三、解答题（本大题共有8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解：（1）原式＝﹣1++3+2﹣
＝4；
（2）4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
x2＝，
x＝±．
20．解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1，
即AB﹣AC＝2①，
又AB+AC＝11②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝10，
解得AC＝5，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝5；
（2）∵AB＝6，AC＝5，
∴1＜BC＜11．
21．解：（1）∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
分两种情况：
①，
解得：，
∴AB＝AC＝2x＝8，
∴这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2，
②，
解得：，
∴AB＝AC＝2x＝4，
∵4+4＝8＜10，
∴不能组成三角形；
综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2；
（2）分两种情况：
当∠A＜90°时，如图：

∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为70°；
当∠A＞90°时，如图：

∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠DAB）＝20°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为20°；
综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．
22．解：（1）如图所示：

点C的坐标为（﹣3，3），点D的坐标为（2，2）；
故答案为：（﹣3，3）；（2，2）；
（2）△COD的面积＝，
故答案为：6；
（3）∵S△AOB＝3S△BOE，
∴3S△BOE＝2，
∴点E坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）或（1，1）．
23．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC＝S△ADE，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE，
∵AC＝AE＝10，
∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×10×10＝50；
（3）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠FCA＝45°，
∴∠FAE＝135°．
24．解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝105°，
∴∠EDC＝180°﹣105°﹣40°＝35°，
∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝35°+40°＝75°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣75°＝105°，
∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝140°﹣∠BAD，
∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大，
∴∠BDA逐渐变小，
故答案为：35；105；小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（3）若AD＝DE时，
∵AD＝DE，∠ADE＝40°，
∴∠DEA＝∠DAE＝70°，
∵∠DEA＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，
若AE＝DE时，
∵AE＝DE，∠ADE＝40°，
∴∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠AED＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵∠DEA＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形．
25．（1）证明：如图1，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD平分∠BAC，
∴∠ABD＝∠DBC＝＝22.5°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝67.5°，
∵AF⊥BD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠FAD＝90°﹣∠ADB＝22.5°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAD＝∠FAD+∠MAN＝67.5°，
∴∠EAD＝∠ADB，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：如图2，

作DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，∠CAB＝90°，
∴DH＝AD＝3，
∵∠ACB＝45°，
∴CD＝＝3，
∴AC＝AD+CD＝3+3，
∴AB＝AC＝3+3；
（3）解：如图3，

AM＝2PC，理由如下：
由（1）知：∠EAD＝67.5°，∠FAD＝∠ABD＝∠CBD＝22.5°，
∴∠BAM＝∠BAC﹣∠EAD＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠AMN＝∠BAM+∠ABC＝67.5°，
∠ANM＝∠FAD+∠ACB＝67.5°，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∵∠AFB＝∠NFB＝90°，BF＝BF，
∴△ABF≌△NBF（ASA），
∴AN＝2AF＝2FN，
∵AB＝AC，∠CAP＝∠ABF＝22.5°，∠P＝∠AFB＝90°，
∴△ACP≌△BAF（AAS），
∴CP＝AF，
∴AM＝2CP；
26．解：（1）∵（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝1，
∴A（1，0）、B（0，1），
∴OA＝1，OB＝1，
∴△AOB的面积＝×1×1＝；
（2）如图2，证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠BDF＝180°，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，
，
∴△ODF≌△ODC（SAS），
∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC；
（3）解：BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE，∠PED＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝1，
∴BQ＝2．