初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数教案设计

26.1.1反比例函数

【知识与技能】

1.理解反比例函数的意义.

2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.

【过程与方法】

经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.

【情感态度】

经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.

【教学重点】

理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式

【教学难点】

反比例函数解析式的确定.

一、情境导入，初步认识

问题  京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？

【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.

二、思考探究，获取新知

问题1  某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y (单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？

问题2  已知北京市的总面积为1. 68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.

思考  观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.

【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.

反比例函数：形如y = (k≠0)的函数称为反比例函数，其中是自变量， y是的函数,自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

试一试

下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？

(1)一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m3/h)的变化而变化；

(2)某长方体的体积为1000cm3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S (单位：cm2 )的变化而变化.

(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P随物体与地面的接触面积S的变化而变化.

【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.

三、典例精析，掌握新知

例1  已知y是的反比例函数，当=2 时,y = 6.

(1) 写出y与之间的函数解析式；

(2) 当=4时，求y的值.

【分析】由于y是的反比例函数，故可说其表达式为y = ，只须把=2，y=6代入，求出值，即可得y = ，再把=4代入可求出 y=3.

【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.

例2  如果y是z的反比例函数，z是的 正比例函数，且≠0，那么y与是怎样的函数关系？

【分析】  因为y是z的反比例函数，故可设y = (K1≠0)，又z是的正比例函数，则可设 z = (≠0) ≠0， y = .

故y =是y关于的反比例函数.

【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =，z=时没有区分比例系数）予以强调，并对题中≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.

四、运用新知，深化理解

1.下列哪个等式中y是x的反比例函数?

y = 4x, = 3, y=6x+1,xy=123.

2.已知y与x2成反比例，并且当x= 3时,y=4.

(1)写出y和x之间的函数关系式,y是x 的反比例函数吗？

(2)求出当x =1.5时y的值.

【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.

【答案】1.只有等式xy=123中,y是x 的反比例函数.

2.解：（1)由题知可设y =时y=4， k= 4×9 = 36，即 y = ，y 不是 x 的反比例函数.

(2)y=，x=1.5 时，y= =16.

五、师生互动，课堂小结

1.知识回顾.

2.谈谈这节课你有哪些收获？

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.

1.布置作业：从教材“习题26. 1”中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

反比例函数是初中学习阶段的第二种函数类型.因此本课时教学仍然是从实际问题入手，充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义，可以利用它通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象.

此外，教师在例题的处理上，应要求学生将解题步骤写完整.

 26.1.2  反比例函数的图象和性质

【知识与技能】

1. 会用描点法画反比例函数的图象；

2. 理解反比例函数的性质.

【过程与方法】

经历实验操作、探索思考、观察分析的过程中，培养学生探究、归纳及概括的能力.

【情感态度】

在通过画图探究反比例函数图象及其性质过程中，发展学生的合作交流意识，增强求知欲望.

【教学重点】

画反比例函数图象，理解反比例函数的简单性质

【教学难点】

理解反比例函数性质，能用性质解决简单的问题.

一、情境导入，初步认识

问题  我们知道，一次函数y = 6x的图象是一条直线，那么反比例函数y =的图象是什么形状呢？你能用“描点”的方法画出函数的图象？

【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，尝试着解决问题，教师巡视，关注学生的画图，及时纠正个别同学在画图中的不足和失误之处，帮助学生尽可能得到其合适的图象.

二、思考探究，获取新知

问题1  在同一坐标系中画出反比例函数y =和y =的图象；

【教学说明】将全班同学分成两大组，分别完成问题y =、y =的画图，在学生探索画反比例函数的图象过程中，教师应给予恰当点拨：如学生列表时，由于自变量x≠0，故在x ＜0和x＞0时，应各取三个以上的数据，以便使描点画图更精确些；在连线上，x＜0和x＞0 的两个分支应根据变化趋势用平滑曲线连接，但它们是不能相交的；列表中数据，描点时点的位置等不能出错，以保证图象更能反映出反比例函数的性质.

问题2 反比例函数y =-和y =-的图象有什么共同特点？它们之间有什么关系？反比例函数y = 和y =-的图象呢？同学间相互交流.

【教学说明】让两组同学分别交流，找出图象的特征，教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.

【归纳结论】由图象可发现：（1)它们都是由两条曲线组成，并且随|x|的不断增大（或减 小），曲线越来越接近x轴（或y轴），但这两条曲线永不相交；（2) y = 和y =-及y = 和y =-的图象分别关于x轴对称，也关于y轴对称.

思考  观察函数y = 和y =-以及y = 和y =-的图象.

 (1)你能发现它们的共同特征以及不同点吗？

(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限？

(3)在每个象限内y随x的变化如何变化？

【归纳结论】反比例函数y = 的图象及其性质：

(1)反比例函数y=(为常数，且0)的图象是双曲线；

(2)当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x值的增大而减小；

(3)当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大.

三、典例精析，掌握新知

例  如图，一次函数y = kx十b的图象与反比例函数y = 的图象相交于A、B两点.

    (1)根据图象，分别写出A、B的坐标；

(2)求出两函数的解析式；

(3)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的

函数值大于反比例函数的函数值.

【分析】（1)观察图象，可直接写出A、B两点的坐标；（2)利用A、B两点的坐标，用待定系数法建立方程组求解，可确定两函数的解析式；（3 )通过两函数的交点A、B的坐标得出答案.

解：（1)观察图象可知A( -6，-2)，B（4，3)

(2)由点B在反比例函数y =的图象上，所以把B(4，3)代入y =得3 = ，故 =12，所以y= .由点A、B在一次函数y =kx十b的图象上，所以把A、B两点坐标代入y = kx十b得 .

所以一次函数解析式为y = x+1.

(3)由图象可知，当一6＜x＜0或x＞4时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.

【教学说明】本例有一定难度，教师可将题目展开，分步讲解，辅导学生克服对大题的恐惧.本题考查了从图象获取信息，应用待定系数法确定反比例函数与一次函数的关系式，以及利用图象比较函数值的大小等知识点.

四、运用新知，深化理解

1 .若反比例函数 y =的图象的一个分支在第三象限，则的取值范围是                         .

  2.如图是某一函数的一部分，则这个函数的表达式可能是（     ）

A.y=5x

B.y=-x+3

C.y=-

D.y=

【教学说明】学生独立完成，然后相互交流，谈谈自己的看法，教师应参与学生的讨论， 加深学生对反比例函数的图象及其性质的认识和理解，从而更好地掌握本节知识.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.

【答案】1. ＞  2. C

五、师生互动，课堂小结

本节课学习了哪些知识？在知识应用过程中需要注意什么？你有哪些收获？

1.布置作业：从教材“习题26. 1”中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

 “反比例函数的图象和性质”是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用.

在学习反比例函数图象和性质时k＞0时，双曲线的两个分支在一、三象限；k＜0时，双曲线的两个分支在二、四象限），学生可由画法观察图象得知.而增减性由解析式y =(0)可得到，学生也容易理解.但从图象观察增减性较难，借助计算机的动态演示就容易多了，所以本课教学最好用多媒体，因为运用多媒体比较函数图象，可以使学生更直观、更清楚地看清函数的变化，从而使学生加深对函数性质的理解.

通过本课的教学，教师可深刻地体会到运用信息技术可加强数学课堂教学中的灵活性、直观性. 虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高.

反比例函数K的几何意义

一、授课目的：让学生理解反比例函数的概念及几种等价形式；能够快速绘出给定反比例函数的图像；掌握反比例函数的性质（对称性，变化趋势等），并应用解决数学问题（如比较函数值大小，求对称点坐标等）。

重点掌握反比例函数中的比例系数k的几何意义。

二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现，常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察。所以，应该引起广大学生的重视。反比例函数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察。这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维。本次专题目的在于让学生掌握反比例函数k几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考察方式和解题思路。

三、授课内容：

1.反比例函数的概念

如图所示，过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线

PM、PN,垂足为M、N，所得矩形PMON的面积S=PMPN=|y||x|.

  ∴。

这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。这是系数k几何意义,明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。（请学生思考，图中三角形OEF的面积和系数k的关系。）

2.反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数y=的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.

例题1  (2003·三明)函数y=(x>0)的图象大致是(   )

例题2  (2003·宜昌)函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是(   )

3.反比例函数y=中k的意义

注意:反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│.

例题1：如图，P、C是函数（x>0）图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线PA,垂足为A，过点C作x轴的垂线CD,垂足为D，连接OC交PA于点E，设⊿POA的面积为S1,则S1=        ,梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1       S2, ⊿POE的面积S3和梯形CEAD的面积为S2的大小关系是S2       S3.

例题1图               例题2图                例题3图

例题2：如图所示，直线l与双曲线交A、B两点，P是AB上的点，试比较⊿AOC的面积S1，⊿BOD的面积S2，⊿POE的面积S3的大小：                     。

例题3：如图所示，点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在双曲线上,且x2-x1=4,y1-y2=2;分别过点A、B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为           。

4.常考题型精选

1．如果，且，那么，在自变量的取值范围内，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（     ）

（A）           （B）              （C）           （D）                       第3题

2.直线与双曲线相交于第一象限的点A，与x轴交于点C，AB⊥x轴于点B，若=3,则=            .

3.如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值为         ．．

4.如图，已知点A、B在双曲线上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴与点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若⊿ABP的面积为3，则k=           .

5.如图已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C，若点A的坐标为（-6，4）,则⊿AOC的面积为              。

6.如图，A、B为双曲线上的点，AD⊥x轴于D,BC⊥y轴于点C，则四边形ABCD的面积为            。

7.如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，（1）若四边形OEBF的面积为4，

则k=        ；（2）若梯形OEBA的面积为9，则k=        。

8.如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交与点C。若⊿OBC的面积为3，则k=          。

5.课后练习：

1. 反比例函数与一次函数只可能是（     ）

（A）              （B）             （C）               （D）             第2题图

2. 正比例函数和的图象与反比例函数的图象分别相交于点和点.若和的面积分别为和,则与的关系是（     ）

3. 在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则      ．

4.反比例函数的图象所在的象限内,随增大而增大，则反比例函数的解析式是（     ）

（A）  （B）  （C） 或    （D）不能确定

5. 如图9,已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数的图象上，点为其双曲线上的任一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重合部分的面积为．

(1)求点坐标和的值；                     

(2)当时，求点坐标；

(3)写出关于的函数关系式．

6.如图8，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.

（1）试确定反比例函数的关系式；

（2）求△AOC的面积.

7.（09北京）如图，A、B两点在函数的图象上.（1）求的值及直线AB的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

8.已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．

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