九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数课堂教学ppt课件

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根据已知条件，你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角度来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角 (∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为：在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m， 求 AB (如图). 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB = 2BC = 70(m).也就是说，需要准备70 m长的水管.
思考: 在上面的问题中,如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
在上面求AB (所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
思考:如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A =45°，计算∠A的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，因为∠A= 45°，所以Rt△ABC 是等腰直角三角形.由勾股定理得 AB 2 =AC 2+BC 2 = 2BC 2 , AB = BC. 因此即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何， 这个角的对边与斜边的比都等于
综上可知，在Rt△ABC 中， ∠C = 90°，当∠A = 30°时， ∠A的对边与斜 边的比都等于 是一个固定值；当∠A = 45°时， ∠A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值.一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
探究：任意画Rt△ABC 和Rt△ （如图），使得 那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
在图中，由于 所以 Rt△ABC∽Rt△ 因此 即 这就是说，在Rt△ABC 中，当锐角A 的度数一定时， 无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的 比都是一个固定值.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sin A，即例如，当∠A=30°时，我们有 sin A=sin 30°=当∠A=45°时，我们有 sin A=sin 45°=
∠A的正弦sin A随着∠A的变化而变化.
例1 如图 ，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sin A 和 sin B 的值.
解:如图(1)，在Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 如图(2),在Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此
求sin A 就是要确定∠A 的对边与斜边 的比；求sin B 就是要确定∠B 的对边与斜边的比.
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°， 求sin A和sin B 的值.
解：由勾股定理得 所以
解：由勾股定理得 ∴
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A 的值为(　　) B. C. D.
把Rt△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A 的正弦值(　　) A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sin A 的值为(　　) A. B. C. D.
例2 在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sin A= 则边 AC 的长是( ) A. B.3 C. D.
解析:如图， 而BC=2，
由正弦值求边长，当已知角的对边或斜边长时，通常先根据某个锐角的正弦的定义确定斜边或对边，再根据勾股定理求另一边；当已知角的邻边时，根据正弦函数的定义确定另外两边的比值，根据勾股定理列方程求解即可．
在Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠A=90°，求sin A 的值.
解：如图． ∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∴sin B＝sin30°＝ 设AC＝a，则AB＝2a， ∴
2 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，sin B＝ ， 则AB 的长等于(　　) A．15 B．12 C．9 D．6在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝ ， 则斜边上的高等于(　　) A. B. C. D.
已知sin 6°＝a，sin 36°＝b，则sin2 6°＝(　　)A．a 2 B．2a C．b 2 D．b
在直角三角形ABC 中，AC＝4，BC＝3，求sin A 的值．
易错点：审题不清，找错直角边或斜边.
如图，在矩形ABCD 中，AB＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC，则sin∠ECF＝(　　) A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α 的值是(　　) A. B. C. D.
如图，⊙O 的直径AB＝4，BC 切⊙O 于点B，OC 平行于弦AD，OC＝5，则AD 的长为(　　) A. B. C. D.
4 已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点D，E 分别 在边AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9. (1)求 的值； (2)若BD＝10，求sin A 的值．
(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ 又∵DE＝3，BC＝9，∴(2)根据(1)中 ，得 ∵BD＝10，DE＝3，BC＝9， ∴ ，解得AD＝5，∴AB＝15. ∴sin A＝
已知：如图，⊙O 的直径AB 为3，线段AC＝4，直线 AC 和PM 分别与⊙O 相切于点A，M. (1)求证：点P 是线段AC 的中点； (2)求sin∠PMC 的值．
(1)证明：如图，连接AM.∵AB是⊙O 的直径， ∴∠AMB＝90°.∴∠AMC＝90°. ∴∠MAC＋∠C＝90°，∠PMC＋ ∠PMA＝90°.∵AC 和PM 分别与⊙O 相切于点A， M，∴PM＝PA. ∴∠PMA＝∠PAM. ∴∠C＝ ∠PMC. ∴PC＝PM. ∴PA＝PC，即点P 是线段AC 的中点．(2)解：∵AC 切⊙O 于点A，∴∠BAC＝90°.又∵AB＝3， AC＝4，∴BC＝5.由(1)知∠C＝∠PMC， ∴sin ∠PMC＝sin C＝ .
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中 线，过点A作AE⊥CD，AE 分别与CD，CB 相交于点H，E， AH＝2CH. (1)求sin B 的值； (2)如果CD＝ ，求BE 的值．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 第二、四象限内的A，B 两点，与x 轴交于点C，与y 轴交于点D，点B 的坐标是(m，－4)，连接AO，AO＝5，sin ∠AOC＝ . (1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB，求△AOB 的面积．
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