初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用教课课件ppt

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平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
三种，重叠、向上和向下
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫” 一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫” 一号的组合体在离地球表 面343 km的圆形轨道上运行，如图：
当组合体运行到地球表面P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少（地球半径约为6 400 km， π 取3. 142，结果取整数)？
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点. 如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O 的有关问题：其中点F 是组合体的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体中观测地球时的最远点， 的长就是 地球表面上P，Q 两点间的距离.为计算 的长需先求出∠ POQ （即α）的度数.
设∠ POQ= α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形.∴α≈18.36°.∴
由此可知，当组合体在P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2 051 km.
利用解直角三角形解决实物模型问题的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角 形转化为解直角三角形问题)．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角 三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
1 如图，建筑物BC 上有一旗杆AB，从与BC 相距40 m的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位).
在Rt△BCD 中，DC＝40，∠BDC＝45°，所以BC＝40.在Rt△ACD 中，tan∠ADC＝ ，所以AC＝DC · tan ∠ADC ＝40×tan 50°≈47.67.所以旗杆的高度为AB＝AC－BC≈47.67－40≈7.7(m)．答：旗杆的高度约为7.7 m.
2 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA的高度为(　　) A.　　　　　　　 B．30sin α米 C．30tan α米 D．30cs α米
3 湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部50米的C 处，测得桥塔顶部A 的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD 的高度为1米，则桥塔AB 的高度约为(　　)(参考数据：sin 41.5°≈0.663，cs 41.5°≈0.749，tan 41.5°≈0.885) A．34米　 　B．38米　　 C．45米　　 D．50米
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°， 看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m， 这栋楼有多高（结果取整数）？
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的是 仰角，视线在水平线下方的是俯角.因此，在图中， α =30°， β =60°.在 Rt△ABD 中， α = 30°，AD = 120，所以可以利用解直 角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.
如图，α =30°， β =60°，AD=120. ∵ ∴ BD =AD · tan α=120×tan30° CD =AD · tan β=120×tan 60° ∴BC=BD+CD= 因此，这栋楼高约为277 m.
解决与俯角和仰角有关的实际问题，必须先根据视角(仰角、俯角)的意义画出水平线找准视角，建立数学模型，然后构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解决要求的问题．
如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3 000 m的高空C处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是(　　)A．3 000 m B．3 000( ＋1)mC．3 000( －1)m D．1 500 m
如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(　　)A．160 m　B．120 m　C．300 m　D．160 m
观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D处的俯角是30°. 已知楼房高AB 约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是________m.
如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米， ≈1.414)(　　)A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C 点到直径AB 所在的直线的距离约为(tan 33°≈0.65，tan 21°≈0.38)(　　)　A．169米 B．204米 C．240米 D．407米
如图所示，一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α，其中tan α＝2 ，无人机的飞行高度AH为500 米，桥的长度为1 255米． (1)求点H 到桥左端点P 的距离； (2)若无人机前端点B 测得正前方的 桥的右端点Q 的俯角为30°，求 这架无人机的长度AB.
(1)在Rt△AHP 中，∵AH＝500 ，tan∠APH＝tan α ＝ ，∴HP＝250(米)． 答：点H 到桥左端点P 的距离为250米．(2)如图，过点B 作BC⊥HQ 于点C. 在Rt△BCQ 中，∵BC＝AH＝500 ， ∠BQC＝30°，∴CQ＝ ＝1 500. ∵PQ＝1 255，∴CP＝245.∵HP＝250， ∴AB＝HC＝HP－CP＝250－245＝5(米)． 答：这架无人机的长度AB 为5米．
如图，某人为了测量小山顶上的塔ED 的高，他在山下 的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进 60 m 到达山脚点B，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底 点E 的仰角为30°，求塔ED 的高度．(结果保留根号)
由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x，∴BC＝ .由题知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，∴△ACD 为等腰直角三角形．∴AC＝DC.∴x＋60＝3x，解得x＝30＋10 .∴DE＝2x＝60＋20 .答：塔ED 的高为(60＋20 )m.
金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB 的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C 处，测得旗杆顶端A 的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F 处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE 为1米，点C 距地面的高度CD 为3米，台阶CF 的坡角为30°，且点E，F，D 在同一条直线上，求旗杆AB 的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
如图所示，过点C 作CM⊥AB 于点M，则四边形MEDC 是矩形，∴ME＝DC＝3，CM＝ED.在Rt△AEF 中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝ x.在Rt△FCD 中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝3 .在Rt△AMC 中，∠ACM＝45°，∴MA＝MC. ∵ED＝MC，∴AM＝ED.∵AM＝AE－ME，ED＝EF＋DF，∴ x－3＝x＋3 .解得x＝6＋3 . ∴AE＝ ×(6＋3 )＝6 ＋9.∴AB＝AE－BE＝9＋6 －1≈18.4(米)．答：旗杆AB 的高度约为18.4米．
如图，在办公楼AB 和实验楼CD 之间有一旗杆EF，从办公楼AB顶部A 点处经过旗杆顶部E 点恰好看到实验楼CD 的底部D 点，且俯角为45°，从实验楼CD 顶部C 点处经过旗杆顶部E 点恰好看到办公楼AB 的G 点，BG＝1米，且俯角为30°，已知旗杆EF＝9米，求办公楼AB 的高度．(结果精确到1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
如图，过G 作CD 的垂线交CD 于P 交EF 于H，由题意可知∠BAD＝∠ADB＝45°，∴FD＝EF＝9米，AB＝BD.在Rt△GEH 中，∵tan∠EGH解得GH＝8 米．∴BF＝8 米．∴PG＝BD＝BF＋FD＝(8 ＋9)米．∴AB＝(8 ＋9)米≈23米．答：办公楼AB 的高度约为23米．
 解含有仰角、俯角问题的方法(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角 和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度 时，要善于将实际问题抽象为数学问题．(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和 另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问 题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
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