2022-2023学年陕西省西安中学高三（上）第六次月考数学试卷（文科）( word版）

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2022-2023学年陕西省西安中学高三（上）第六次月考数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则元素的个数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知集合，为虚数单位，，若，则复数在复平面上所对应的点在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图所示茎叶图记录了甲乙两组各名同学的数学成绩．甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是(    )
 A. ， B. ，
C. ， D. ，，5.  设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”“钱”是古代的一种重量单位这个问题中，甲所得为(    )A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱7.  设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，(    )A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则8.  函数的图象可能是(    )A.  B.  C.  D. 9.  已知函数的图象关于直线对称，则(    )A.  B.  C.  D. 10.  函数函数的函数值表示不超过的最大整数，如，，设函数，则函数的零点的个数为(    )A.  B.  C.  D. 11.  在平面直角坐标系中，双曲线的两条渐近线与抛物线的准线相交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  若函数，，为偶函数，则实数 ______ ．14.  执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为______．
 15.  在中，，，且，则的长度为______．16.  如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为“对偶不等式”如果不等式与不等式为“对偶不等式”，且，那么______．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
设数列的前项和为，已知，，．
求通项公式；
求数列的前项和．18.  本小题分
如图，在四棱锥中，，，，．

为的中点，试证明：直线平面；
证明：平面平面．19.  本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求直方图中的值；
Ⅱ设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
Ⅲ若该市政府希望使的居民每月均用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
20.  本小题分
如图，在四棱锥中，，，，．
在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
Ⅱ证明：平面平面．
21.  本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
 
Ⅰ求直方图中的值；
Ⅱ设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
Ⅲ若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
答案 1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】   4.【答案】 5.【答案】 6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】 17.【答案】解：由题意得：则
又当时，由，得，
数列是首项为，公比为的等比数列，
数列的通项公式为；
设，
当时，由于，故，
设数列的前项和为，则，，
当时，，
经验证，当时也符合上式．
所以，． 【解析】由题设求得，，再根据，关系求通项公式；
由题设得，讨论并应用分组求和求前项和，注意验证或时的情况，进而写出前项和公式．
本题考查了等比数列的通项公式和分组求和，属于中档题．
 18.【答案】证明：为的中点，直线平面．

取的中点，连接，，，则，
平面，平面，
平面，
，，
是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
，
平面平面，
平面，
平面；
，，与相交，
平面，
平面，
，
由及，可得，
，，
，
平面，
平面，
平面平面． 【解析】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
为的中点，直线平面取的中点，连接，，，则，证明平面平面，即可证明直线平面；
证明：平面，即可证明平面平面．
 19.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图得月平均用水量在中的频率为，
同理可得在，，，，，中的频率分别为，，，，，，，，
，解得；
Ⅱ由Ⅰ得位居民每人的月均用水量不低于吨的频率为，
根据样本估计总体，则该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数为人；
Ⅲ由Ⅰ得前组的频率之和为，
而前组的频率之和为，
，
，解得，
该市政府希望使的居民每月均用水量不超过标准吨． 【解析】Ⅰ根据频率分布直方图的特点：高组距频率，计算出每组的频率，根据所有频率之和为，求解即可得出答案；
Ⅱ由Ⅰ得位居民每人的月均用水量不低于吨的频率为，即可得出答案；
Ⅲ分别计算前组的频率之和，前组的频率之和，可得，列出关于的方程，求解即可得出答案．
本题考查频率分布直方图的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 20.【答案】解：取棱的中点平面，点即为所求的一个点．理由如下：

因为，所以且，所以四边形是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面．
Ⅱ证明：由已知，，，
因为，所以直线与相交，
所以平面，
平面，
从而．
因为，
所以且．
所以四边形是平行四边形．
所以，所以．
又，所以平面．
又平面，
所以平面平面． 【解析】先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；
Ⅱ先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到平面，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直．
本题考查线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力，属于基础题．
 21.【答案】解：Ⅰ，
；
Ⅱ由图可得月均用水量不低于吨的频率为：，
由，得全市居民中月均用水量不低于吨的人数约为万；
Ⅲ由图可得月均用水量低于吨的频率为：；
月均用水量低于吨的频率为：；
则吨． 【解析】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于中档题．
Ⅰ根据各组的累积频率为，构造方程，可得值；
Ⅱ由图可得月均用水量不低于吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于吨的人数；
Ⅲ由图可得月均用水量低于吨的频率及月均用水量低于吨的频率，进而可得值．