安徽省安庆市潜山市2022_2023 学年九年级上学期数学期中考试试卷（含解析）

这是一份安徽省安庆市潜山市2022_2023 学年九年级上学期数学期中考试试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了 若y=， 已知点A， 已知点， 已知==，则=等内容，欢迎下载使用。

潜山市2022~2023学年第一学期期中教学质量验收
九年级数学试卷

一、 选择题（每小题4分，共10题）
1. 若y=（m+2）xm2-2是二次函数，则m的值是（　　）
A .±2 B .2 C .-2 D .不能确定
2. 已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）的图象上的两点，且当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则函数y=kx2-k与y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A . B . C . D .
3. 已知点（-2，y1），（-3，y2），（1，y3）在函数y=2x2+8x+7的图象上．则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A .y3＜y2＜y1 B .y2＜y3＜y1 C .y1＜y2＜y3 D .y1＜y3＜y2
4. 若k为任意实数，则抛物线y=-2（x-k）2+k的顶点在（　　）
A .直线y=x上 B .直线y=-x上 C .x轴上 D .y轴上
5. 已知==，则=（　　）
A .2 B .- C .-1 D .
6.如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（　　）
A .= B .= C .= D .=
7.在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的是（　　）
A .sinA= B .cosA= C .tanA= D .cotA=
8.已知α​为锐角，则m=sinα+cosα​的值(​　　)​
A .m​>​1​ B .m=1​ C .m​<​1​ D .m⩾1​
9.如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（　　）
A . B . C . D .

10. 如图，反比例函数y=kx(x<0)​与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标分别为-3，-1.则关于x的不等式 kx A .x<-3​ B .-3 C .-1
二、 填空题（每小题4分，共8题）
11. 比例尺1：4000000的图上，图距为4cm的实际距离约为 米（科学记数法表示）．
12. 已知二次函数y=kx2+2x-1与x轴有交点，则k的取值范围 ．
13. 若函数y=k-2​x​k2-5​​是反比例函数，则k=​ ．
14. 如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中 是AD和AB的比例中项．
15. 在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC= ．
16. 若α为锐角，且cosα=，则m的取值范围是 ．
17. 如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=x的图象交于A、B两点，B点坐标为（﹣3，﹣2），则A点的坐标为（ ）

18. 如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为 ．

三、 解答题（共7题，共78分）
19. （8分）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？






20. （10分）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点.​某人在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°，再沿AB方向前进10米到达点E(点E在线段AB上)​，测得∠DEB=60°​，求C、D两点间的距离．







21. （10分）如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出P点的坐标．






22. （12分）如图，已知在△ABC中，AD是BC边的中线，AE=EF=CF，BE与AD交于点G，求DF：GB的值．






23. （12分）如图，△ABC​中，DG/​/​EC​，EG/​/​BC.​求证：​AE2=AB⋅AD​．





24. （12分）如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=​k2x​的图象交于点A(3,m3)​和B(-2,m-18)​．
(1)​根据函数图象可知，当y1>y2​时，x的取值范围是__________________；
(2)​求反比例函数和一次函数的解析式；
(3)​点P是x轴上一点.​且△APB​的面积为10，求点P的坐标．










25. （14分）如图，抛物线​y=x2-2x+k​与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3)​．​
(1)​求抛物线的解析式和点A和点B的坐标；
(2)​在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)​在抛物线y=x2-2x+k​上求点Q​，使△BCQ​是以BC​为直角边的直角三角形。









参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】【解答】解：根据二次函数的定义，可得：m2-2=2，
解得：m=±2，
当x=-2时，m+2=0，
∴m=2．
故选：B．
【解析】【分析】根据二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a≠0）的式子是二次函数，计算即可．
2. 【答案】【解答】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，反比例函数y=，在一、三象限，而二次函数y=kx2-k开口向上，与y轴交点在原点下方，都不符；
②当k＜0时，反比例函数y=，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向下，与y轴交点在原点上方，A符合．
分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是A．
故选A．
【解析】【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．
3. 【答案】【解答】解：∵二次函数y=2x2+8x+7中a=2＞0，
∴开口向上，对称轴为x=-2，
∵（-2，y1）中x=-2，y1最小，（1，y3），点B关于对称轴的对称点B′横坐标是2×（-2）-1=-5，则有B′（-5，y3），因为在对称轴得右侧，y随x得增大而增大，故y3＞y2．
∴y3＞y2＞y1．
故选C．
【解析】【分析】先求出二次函数y=2x2+8x+7的图象的对称轴，然后判断出A（-2，y1），B（-3，y2），C（1，y3）在抛物线上的位置，再求解．
4. 【答案】【解答】解：∵抛物线y=-2（x-k）2+k的顶点坐标为（k，k），
∴顶点坐标满足直线y=x，故顶点总在直线y=x上．
故选：A．
【解析】【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可求出顶点坐标，再确定顶点所在的直线解析式．
5. 【答案】【解答】解：设===k，
∴x=4k，y=3k，z=2k，
∴==，
故选D．
【解析】【分析】根据已知条件设===k，得到x=4k，y=3k，z=2k，代入代数式即可得到结论．
6. 【答案】【解答】解：∵DF∥AC，
∴=，
∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DE=CF，
∴=，故A正确；
∵DE∥BC，
∴=，故B正确；
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴=，=，故C错误；
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴=，=，
∴=，故D正确；
故选C．
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案．
7. 【答案】【解答】解：因为sinA==，cosA==，tanA==，cotA==，
故选B
【解析】【分析】利用三角函数的定义解答即可．
8. 【答案】
A​
【解析】
解：设在直角三角形ABC​中，∠A=α​，​∠C=90∘​，
故sinα=​ac​，cosα=​bc​；
则m=sinα+cosα=​a+bc​>​1​．
故选A．
根据锐角三角函数的概念，可以用直角三角形的边进行表示，再进一步根据三角形的三边关系进行分析．
此题综合考查了锐角三角函数的概念，以及三角形的三边关系．
9. 【答案】【解答】解：如图，过N作NR⊥AB与R，则RN=BC=1，
连BB′，交MN于Q．则由折叠知，
△MBQ与△MB′Q关于直线MN对称，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，
∴△MQB∽△B′AB，
∴==．
设AB′=x，则BB′=，BQ=，代入上式得：
BM=B'M=（1+x2）．
∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∵，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=（1+x2）-x=（x-1）2．
∴S梯形MNC′B′=[（x-1）2+（x2+1）]×1=（x2-x+1）=（x-）2+，
得当x=时，梯形面积最小，其最小值．
故选：B．

【解析】【分析】先证明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性质得出C'N的长，再表示出求出梯形MNC′B′面积，进而求出最小值．
10. 【答案】
B​
【解析】
解：
观察图象可知，当-3​<​x​<​-1​时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴​关于x​的不等式​kx​<​x+4(x​<​0)​的解集为：-3​<​x​<​-1.​
故选：B​．
求关于x​的不等式​kx​<​x+4(x​<​0)​的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的上方所对应的自变量x​取值范围，问题得解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
二、 填空题
11. 【答案】【解答】解：设实际距离约为x厘米，
∵比例尺为1：4000000，
∴4：x=1：4000000，
∴x=16000000厘米=160000米=1.6×105米．
故答案为：1.6×105．
【解析】【分析】设AB的实际距离为x厘米，根据比例尺的定义得到4：x=1：4000000，利用比例的性质求得x的值，再用科学记数法表示即可．
12. 【答案】【解答】解：由二次函数y=kx2+2x-1与x轴有交点，得
kx2+2x-1=0有实数根，
△=b2-4ac=4+4k≥0，
解得k≤-1，
故答案为：k≤-1．
【解析】【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．
13. 【答案】
-2​
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式y=​kx​(k≠0)​是解决此类问题的关键．根据反比例函数的定义列出方程，解出k​的值即可．

【解答】
解：若函数y=​k-2​x​k2-5​​是反比例函数，
则​k2-5=-1​k-2≠0​​，
解得k=-2​，
故答案为：-2​
14. 【答案】
【解析】【解答】解：在△ACD与△ABC中， ∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，
∴AC是AD和AB的比例中项．
故答案为AC．
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．
15. 【答案】【解答】解：sinA==，得
BC=AB×=6×=2，
故答案为：2．
【解析】【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
16. 【答案】【解答】解：∵0＜cosα＜1，
∴0＜＜1，
解得-＜m＜，
故答案为：-＜m＜．
【解析】【分析】根据余弦值的取值范围，列不等式求解．
17. 【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，知
点A与B关于原点对称，
∵点B的坐标是（﹣3，﹣2），
∴A点的坐标为（3，2）．
故答案是：3，2．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．本题考查了反比例函数图象的中心对称性，关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数．
18. 【答案】【解答】解：连接BD与y轴交于点P，
可得：PC+PD=BD，

把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，
所以点B的坐标为（-2，0），
所以BD==3，
故答案为：3．
【解析】【分析】由两点之间线段最短可知，当P点在线段BD上就可使PC+PD的值最小，解答即可．
三、 解答题
19. 【答案】【解答】解：（1）由题意得，z=y（x-18）
=（-2x+100）（x-18）
=-2x2+136x-1800；
（2）当z=440时，
-2x2+136x-1800=440，
解得：x1=28，x2=40．
答：当销售单价为28元或40元时，厂商每月获得的利润为440万元．
【解析】【分析】（1）根据利润=销售量×（销售单价-成本），代入代数式求出函数关系式；
（2）令利润z=440，求出x的值．
20. 【答案】
解：过点D​作l​1​的垂线，垂足为F​，

​∵∠DEB=60∘​，​∠DAB=30∘​，
​∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30∘​，
∴△ADE​为等腰三角形，
∴DE=AE=10​，
在Rt△DEF​中，EF=DE⋅cos6​0∘=10×​​12​​=5​，
​∵DF⊥AF​，
​∴∠DFB=90∘​，
∴AC/​/DF​，
由已知l​1​/​/l​2​，
∴CD/​/AF​，
∴​四边形ACDF​为矩形，CD=AF=AE+EF=15​，
答：C​、D​两点间的距离为15m​．

【解析】
此题主要考查了两点之间的距离以及等腰三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，得出EF​的长是解题关键．直接利用等腰三角形的判定与性质得出DE=AE=10​，进而求出EF​的长，再得出四边形ACDF​为矩形，则CD=AF=AE+EF​求出答案.​
21. 【答案】【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，
又∵抛物线过点C（0，-3），
∴-3=a（0-1）2-4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；

（2）∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，
∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为4．
令y=4，则x2-2x-3=4，
解得x1=1+2，x2=1-2．
∴点P的坐标为（1+2，4）或（1-2，4）．
【解析】【分析】（1）由抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），可设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可；
（2）由S△PAB=S△ABD，根据三角形面积公式可得点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，而D的坐标为（1，-4），所以点P的纵坐标一定为4．将y=4代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=4，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．
22. 【答案】【解答】解：∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
∵AE=EF=CF，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴GE：DF=AE：AF=1：2，
∴DF：GB=1：3．
【解析】【分析】先证明DF是△BCE的中位线，得出DF∥BE，DF=BE，由平行线分线段成比例定理得出GE：DF=AE：AF=1：2，即可得出结果．
23. 【答案】
证明：∵DG/​/EC​，
∴AD​：AE=AG​：AC​，
∵EG/​/BC​，
∴AG​：AC=AE​：AB​，
∴AD​：AE=AE​：AB​，
​∴AE2=AB⋅AD​．
【解析】
本题考查平行线分线段成比例的性质.​关键在于根据题意推出成比例的线段.​根据平行线分线段成比例的性质，由EG/​/BC​，可推出AD​：AE=AG​：AC​，再由EG/​/BC​，推出AG​：AC=AE​：AB​，通过等量代换可得，AD​：AE=AE​：AB​，即可推出结果．

24. 【答案】
解：(1)x​>​3​​或-2​<​x​<​0​​；
(2)​将点A(3,m3​)​代入​y2=​​k2x​​，
可得​k23=​m3​​，则​k2=m​，
再将B(-2,m-18)​代入​y2=​​k2x​​，
可得​k2-2=m-18​​，则​k2=-2m+36​，
∴m=-2m+36​，解得m=12​，
∴A(3,4)​，B(-2,-6)​，
∴​y2=​12x​​，
将点A​和点B​的坐标代入y​​​​1​=k​​​​1​x+b​，
可得3​k1+b=4​-2​k1+b=-6​​，解得​k1=2​b=-2​​，
​∴y1=2x-2​；
(3)​设直线AB​与x​轴交于点C​，
​∴S△APB=​S△APC+​S△PCB=5PC=10​，
∴PC=2​，
∵C(1,0)​，
∴P(3,0)​或(-1,0)​．
【解析】
【分析】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的数学思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．
(1)​根据函数图象，得出直线在反比例函数上方时x​的取值范围即可；
(2)​分别将点A​和点B​的坐标代入反比例函数解析式中，求出​k2​的值，确定出反比例解析式，再将A​和B​的坐标代入一次函数解析式中即可求出​k1​的值；
(3)​设直线AB​与x​轴交于点C​，根据​S△APB=​S△APC+​S△PCB=5PC=10​，求出PC​的长，得出点C​的坐标，进而得出点P​的坐标即可．
【解答】
解：(1)​根据函数图象，可得当x​>​3​​或-2​<​x​<​0​​时，直线在双曲线上方，
故当y​​​​1​​>​y​​​​2​时，x​的取值范围是x​>​3​​或-2​<​x​<​0​​．
故答案为x​>​3​​或-2​<​x​<​0​​；
(2)​见答案；
(3)​见答案．
25. 【答案】
解：(1)∵​抛物线​y=x2-2x+k​与x​轴交于A​，B​两点，与y​轴交于C(0,-3)​，
∴-3=k​，
则该抛物线的解析式为：​y=x2-2x-3=(​x-1)2-4​，
当y=0​，则​0=x2-2x-3​，
解得：​x1=-1​，​x2=3​，
∴A(-1,0)​，B(3,0)​；
(2)​如图1​，设D(​m,m2-2m-3)​，连接OD​．


则0​<​m​<​3​，​m2-2m-3​<​0​，
且△AOC​的面积=​32​​，△DOC​的面积=​32​m​，
△DOB​的面积=-​32​(​m2-2m-3)​，
​∴S四边形ABDC=​S△AOC+​S△DOC+​S△DOB​
=-​32​​m2+​92​m+6​
=-​32​(​m-​32​)2+​758​​．
∴​存在点D(​32​,-​154​)​，使四边形ABDC​的面积最大为​758​​；
(3)​有两种情况：
如图2​，过点B​作​BQ1⊥BC​，交抛物线于点​Q1​、交y​轴于点F​，连接​Q1​C.
​∵∠CBO=45∘​，
​∴∠FBO=45∘​，BO=OF=3​．
∴​点F​的坐标为(0,3)​．
∴​直线BF​的解析式为y=-x+3​．
则y=-x+3​y=​x2-2x-3​​，
解得：​x1=-2​​y1=5​​，​x2=3​​y2=0​​，
∴​点​Q1​的坐标为(-2,5).​
如图2​，过点C​作CG⊥CB​，交抛物线于点​Q2​、交x​轴于点G​，连接​BQ2​．



​∵∠CBO=45∘​，
​∴∠CGB=45∘​，OG=OC=3​．
∴​点G​的坐标为(-3,0)​．
∴​直线CG​的解析式为y=-x-3​．
由y=-x-3​y=​x2-2x-3​​，
解得：​x1=0​​y1=-3​​，​x2=1​​y2=-4​​，
∴​点​Q2​的坐标为(1,-4)​．
综上，在抛物线上存在点​Q1(-2,5)​、​Q2(1,-4)​，使△BC​Q1​、△BC​Q2​是以BC​为直角边的直角三角形．


【解析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及不规则图形面积的求法等二次函数综合题型.​解答(2)​题时，也可过点M​作抛物线的对称轴，将四边形ABMC​的面积转化为求一个梯形与两个直角三角形面积的和．
(1)​把点C​的坐标代入函数解析式求出k​的值，再求出图象与坐标轴的交点坐标即可；
(2)​设D(​m,m2-2m-3)​，连接OD​，把四边形ABDC​的面积分成△AOC​，△DOC​，△DOB​的面积和，求表达式的最大值；
(3)​有两种可能：B​为直角顶点；C​为直角顶点；要充分认识△OBC​的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．