湖北省黄冈市部分学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

2022年秋季九年级期中考试

数学试题

（考试时间：120分钟     满分：120分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．下列用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．赵爽弦图     B．迪卡尔心形线     C．科克曲线     D．斐波那契螺旋线

2．一元二次方程化为一般形式后，常数项为2，二次项系数和一次项系数分别分（    ）

A．3，2     B．3，4     C．3，     D．

3．如图，将绕着点C顺时针旋转后得到，若，则的度数是（    ）

A．     B．     C．     D．

4．用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（    ）

A．     B．     C．     D．

5．如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（    ）

A．     B．     C．     D．

6．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ）

A．     B．     C．     D．

7．如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第三行有3个……，若前n行的点数之和为55，则n的值为（    ）

A．9     B．10     C．11     D．12

8．如图，在四边形中，．动点P沿路径从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ）

A．     B．     C．     D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是_____________．

10．二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是_____________．

11．请你给出一个整数c值，_____________，使方程无实数根．

12．已知抛物线的顶点在x轴上，则m的值为_____________．

13．如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_____________．

14．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年旱逝，欣赏下面改编的诗歌。“大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符。”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为__________________________（方程不用化成一般式）．

15．已知是抛物线上的点，则将按从小到大排列为_____________．

16．如图，是边长为2的等边三角形，点D为边上的中点，以点D为顶点作正方形，且，连接．若将正方形绕点D旋转一周，当取最小值时，的长为_____________．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．（每小题4分，共8分）解下列方程：

（1）；     （2）．

18．（8分）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草要使草坪部分的总面积为，则小路的宽应为多少？

19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．

（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，请直接写出顶点的坐标；（2分）

（2）若和关于原点O成中心对称图形，请直接写出的各顶点的坐标；（3分）

（3）将绕着点O按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出．（3分）

20．（8分）如图1，某桥拱截面可视为抛物线的一部分如图2，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是．

（1）按图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（4分）

（2）一只竹筏径直向桥驶来，当竹筏驶到桥拱下方时，桥下水位刚好在处，有名身高的工人站立在离O点处的竹筏上清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设竹筏与水面齐平）．（4分）

21．（8分）已知关于x的一元二次方程有实数根．

（1）求m的取值范围；（4分）

（2）若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值．（4分）

22．（10分）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．

（1）第15天的日销售量为_____________件；（2分）

（2）时，求日销售额的最大值；（5分）

（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？（3分）

23．（10分）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形中，．将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点D作的边上的高，易证，从而得到的面积为_____________．（3分）

【初步探究】如图2，在中，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接．用含a的代数式表的面积并说明理由．（3分）

【简单应用】如图3，在等腰三角形中，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，求的面积（用含a的代数式表示）．（4分）

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x交于点E，B．

（1）求二次函数的表达式；（4分）

（2）过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D，当点P在何位置时，四边形的面积最大？求出最大面积；（4分）

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点M的坐标．（4分）

2022年秋季九年级期中考试

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．C．

2．C．

3．A．

4．D．

5．B

6．A．

7．B．

8．解：①当点P在AB上运动时，

yAH×PHx2，图象为二次函数；

②当点P在BC上运动时，如下图，

由①知，BH′=ABsinA=42，同理AH′=2，

则yAH×PH（2x-4）×2=24＋x，为一次函数；

③当点P在CD上运动时，

同理可得：y（26）×（4＋6＋2-x）=（3）（12-x），为一次函数；

故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．（2，-3）．

10．m＜-1．

11．3（大于即可）．

12．±6．

13．（2，4）

14．10x＋（x＋3）=（x＋3）2．

15．解：∵y=-2x2-4x＋m=-2（x＋1）2＋2＋m，

∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x=-1，

∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，

∵（-3，y1），（-0．5，y2），（2，y3）是抛物线y=-2x2-4x＋m上的点，

∴点（-3，y1）关于对称轴x=-1的对称点是（1，y1），

∵-1＜-0．5＜1＜2，

∴y3＜y1＜y2，

故答案为y3＜y1＜y2．

16．解：连接AD，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，点D为BC边上的中点，

∴BD=CD，AD⊥BC，

在Rt△ABD中，，

当点E在DA延长线上时，AE=DE-AD．

此时AE取最小值，

在Rt△ADG中，，

故答案为：．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．解：（1）∵2x2＋6x＋3=0，

∴2x2＋6x=-3，

则x2＋3x，

∴x2＋3x，即（x）2，

则x±，

∴x1，x2；…………………………………………………………4分

（2）∵（x＋2）2-3（x＋2）=0，

∴（x＋2）（x-1）=0，

则x＋2=0或x-1=0，解得x1=-2，x2=1．…………………………………………………4分

18．解：设小路的宽应为xm，

根据题意得：（16-2x）（9-x）=112，解得：x1=1，x2=16．………………………………4分

∵16＞9，

∴x=16不符合题意，舍去，

∴x=1．

答：小路的宽应为1m．……………………………………………………………………………8分

19．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，

∵点C（-1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），

∴△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，

∴点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，-2）；

故答案为：点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，-2）；………………………………2分

（2）∵△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，

∴A2（3，-5），B2（2，-1），C2（1，-3）；…………………………………………………5分

（3）如图，△A3B3C3为所作.…………………………………………………………………………8分

20．解：（1）∵OA=8m，

∴点B坐标为（4，4），………………………………………………………………………………2分

设y=a（x-4）2＋4，

将（8，0）代入解析式得0=16a＋4，

解得a，

∴y（x-4）2＋4（0≤x≤8）．…………………………………………4分（未注明取值范围不扣分）

（2）把x=1代入y（x-4）2＋4得y9＋4，……………………………………6分

∵1．68，

∴头顶是不会触碰到桥拱．…………………………………8分

21．解：（1）根据题意得Δ=（2m）2-4（m2＋m）≥0，解得m≤0．

故m的取值范围是m≤0；……………………………………………………4分

（2）根据题意得x1＋x2=-2m，x1x2=m2＋m，

∵x12＋x22=（x1＋x2）2-2x1•x2=12，

∴（-2m）2-2（m2＋m）=12，即m2-m-6=0，解得m1=-2，m2=3（舍去）．

故m的值为-2．……………………………………………8分

22．解：（1）∵日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是，

∴第15天的销售量为2×15=30件，

故答案为：30；…………………………………………………………………………2分

（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：

，…………………………………………………………4分

①当0＜x≤20时，

日销售额=40×2x=80x，

∵80＞0，

∴日销售额随x的增大而增大，

∴当x=20时，日销售额最大，最大值为80×20=1600（元）；……………………5分

②当20＜x≤30时，

日销售额=（x＋50）×2x=-x2+100x=-（x-50）2+2500，

∵-1＜0，

∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，

∴当x=30时，日销售额最大，最大值为2100（元），

综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值2100元；…………………………………7分

（3）由题意得：

当0＜x≤30时，2x≥48，解得：x≥24

∴24≤x≤30，………………………………………………………………………………8分

当30＜x≤40时，-6x+240≥48，解得：x≤32，

∴30＜x≤32，………………………………………………………………………………9分

∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，

∵x为整数，

∴x的整数值有9个，

∴“火热销售期”共有9天．……………………………………………………………10分

23．解：问题原型：如图1中，

如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．

∴∠BED=∠ACB=90°，

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，

∴AB=BD，∠ABD=90°．

∴∠ABC＋∠DBE=90°．

∵∠A＋∠ABC=90°．

∴∠A=∠DBE．

在△ABC和△BDE中，

，

∴△ABC≌△BDE（AAS）

∴BC=DE=8．

∵S△BCDBC•DE

∴S△BCD=32，

故答案为32．     …………………………………………………………………………3分

初步探究：△BCD的面积为a2．

理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．

∴∠BED=∠ACB=90°

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，

∴AB=BD，∠ABD=90°．

∴∠ABC＋∠DBE=90°．

∵∠A＋∠ABC=90°．

∴∠A=∠DBE．

在△ABC和△BDE中，

，

∴△ABC≌△BDE（AAS）

∴BC=DE=a．

∵S△BCDBC•DE

∴S△BCDa2；…………………………………………………………………………………………6分

简单应用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，

∴∠AFB=∠E=90°，BFBCa．

∴∠FAB＋∠ABF=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠ABF＋∠DBE=90°，

∴∠FAB=∠EBD．

∵线段BD是由线段AB旋转得到的，

∴AB=BD．

在△AFB和△BED中，

，

∴△AFB≌△BED（AAS），

∴BF=DEa．

∵S△BCDBC•DE，

∴S△BCD•a•aa2．

∴△BCD的面积为a2．……………………………………………………10分

24．解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-2）2＋9，

∵抛物线与y轴交于点A（0，5），

∴4a＋9=5，

∴a=-1，………………………………………………………………………3分

y=-（x-2）2＋9=-x2＋4x＋5，即二次函数y=ax2＋bx＋c的表达式是y=-x2＋4x＋5；…4分

（2）当y=0时，-x2＋4x＋5=0，

∴x1=-1，x2=5，

∴E（-1，0），B（5，0），………………………………………5分

设直线AB的解析式为y=mx＋n，

∵A（0，5），B（5，0），

由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y=-x＋5；………………………………6分

设P（x，-x2＋4x＋5），

∴D（x，-x＋5），

∴PD=-x2＋4x＋5＋x-5=-x2＋5x，

∵AC=4，

∴S四边形APCD•AC•PD=2（-x2＋5x）=-2x2＋10x，………………………7分

∴当x时，

∴即点P（，）时，S四边形APCD最大；……………………………8分

（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，

∵MN∥AE，HN∥OA，

∴∠HNM=∠OAE（两角的两边相互平行，这两角相等）．

又∵∠MHN=∠EOA=90°，MN=AE，

∴△HMN≌△OEA（AAS），

∴HM=OE=1，

∴M点的横坐标为x=3或x=1，

当x=1时，M点纵坐标为8，

当x=3时，M点纵坐标为8，

∴M点的坐标为（1，8）或（3，8）．………………………………………………………………12分