重庆市第八中学校2023届九年级上学期暑期自主学习检查数学试卷(含答案)

重庆八中初 2023 级暑假自主学习检查

数 学 试 题

一、选择题： （本大题 12 个小题， 每小题 4 分， 共 48 分） 每个小题， 都给出了代号为 A 、B、C、D 的四个答案， 其中只有一个是正确的， 请将正确答案所对应的方框涂黑．

1. 下列代数式中属于分式的是（    ）

A  B.  

C.  D.

2. 下列图形是物理学中的力学、电学等器件的平面示意图，分别代表小车、音叉、凹透镜和砝码，其中是中心对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 在下列平行四边形性质的叙述中，错误的是（    ）

A. 平行四边形的对边相等

B. 平行四边形的对角相等

C. 平行四边形的对角线互相平分

D. 平行四边形的对角线相等

6. 正五边形的一个外角度数是（　　）

A. 108° B. 36° C. 360° D. 72°

7. 若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图像一定不经过（  ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 若关于x的一元⼆次⽅程(k﹣5)﹣2x＋2＝0有实数根，则整数k的最⼤值为（      ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

9. 若点 都是反比例函数 的图象上的点， 则下列各式中正确的是（     ）

A.  B.  

C.  D.

10. 如图， 在平行四边形 中， 是 的中点， 是 的中点， 交 于点 的延长线交 的延长线于 点，那么 （     ）

A. 1：4 B.  C.  D.

11. 若关于  的不等式组 有解且所有的解都是正数， 且关于 的分式方程 的解为整数， 则符合条件的所有整数  的个数为（     ）

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

12. 若定义一种新的取整符号， 即表示不超过的最大整数．例如：， ， 则下列结论正确个数是（     ）

①；

②；

③方程的解有无数多个；

④若， 则  的取值范围是 ；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题： （本大题 4 个小题， 每小题 4 分， 共 16 分．）请将每小题的答案直接填在答 题卡中对应的横线上．

13. ﹣2的倒数是___．

14. 不透明的袋子中装了 2 个红球， 1 个黑球， 1 个白球， 这些球除颜色外无其它差别， 从袋子中随机一起摸出 2 个球， 摸出 1 个红球 1 个黑球的概率为__________．

15. 如图， 在平行四边形中，，以顶点为圆心，线段的长为半径画弧，分别交线段于点，交于点，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留）

16. 美术社团班的甲、乙、丙同学，准备到文具店购买画笔，该文具店种画笔可供选择， 每种画笔有粗、中、细三种型号，且每种画笔的三种型号的价格每支分别为8元、元、元，其中 均为整数，三人每种画笔的每种型号都选择了一支， 对于每一种画笔， 三人选择的型号也各不相同．结账时，甲花费了85元，乙和丙两人共花费了110元，则甲买细型号的画笔上共花费__________元．

三、解答题（本大题共 9 小题， 第 17，18 题每题 8 分， 其余每题 10 分， 共 86 分） 解答 时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤， 画出必要的图形 （包括辅助线）， 请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

17. 解方程：

（1）

（2）

18. 如图，线段是角平分线．

（1）尺规作图：作线段的垂直平分线分别交于点E，O，F；（保留痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）

证明：∵是线段的垂直平分线，

∴①______，②_______，

∵，

∴，

∵线段是的角平分线，

∴③________，

∵，

∴④______，

∴⑤______，

∴，

∴四边形是菱形．

19. 一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 两点．

（1）求一次函数的表达式并画出一次函数；

（2）过点 作 轴， 垂足为点 ， 求出四边形 的面积．

20. 本学期开始，北关中学对该校八年级学生进行了体育训练．为了解他们的训练效果，从该年级中各随机抽取了相同人数的男、女生进行跳绳测试，设被测试的每一位同学跳绳个数为x个，测试结果分为了四个等级：A（x≥200），B（185≤x＜200），C（170≤x＜185），D（x＜170），并对数据进行了整理、描述和分析，给出了以下部分信息：

①男生成绩频数分布表和女生成绩扇形统计图如下：

男生成绩频数分布表

②女生B组中全部19名学生的成绩为：188，194，189，194，186，185，189，190，189，192，191，186，185，196，189，187，191，189，185

③两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：

请根据有关信息解决下列问题：

（1）填空：a＝　 　，d＝　 　，α＝　 　°；

（2）在此次跳绳测试中，你认为是男生还是女生训练效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）若该校八年级有1200人（其中男女生人数相等）即将参加体育期末测试，规定跳绳成绩在185个及其以上为满分，请预测该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的人数．

21. 2022 年夏天，重庆多地高温，露营广受市民喜爱．某电商购进一批型帐篷和型帐篷， 已知一顶型帐篷的进价比一顶型帐篷的进价多 80元， 购买40顶型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．

（1）每顶型帐篷和型帐篷进价分别是多少元？

（2）7月份该电商以300元每顶售出型帐篷120顶， 以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份电商决定调整价格， 每顶型帐篷的售价不变，每顶型帐篷的售价在7月的基础上下降了元， 由于气温持续攀升，8月份型帐篷的销量比7月份增加了顶，B型帐篷的销量比7月份增加了顶，商家在8月份获利10840元，求的值．

22. 夜晚， 小明站在两路灯之间的点 处， 小明身高， 如图， 若，他在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．

（1）若，，求路灯的高度?

（2）若和的高度都恰好等于（1）中的高度，小明在两路灯 之间行走（不包括点，点），则线段的长是否为定值? 若是， 请求出的长；若不是，请说明理由．

23. 一个个位上的数字均不为 0 的四位正整数， 若千位上的数字与十位上的数字之比， 等于百位上的数字与个位上的数字之比， 且比值为正整数， 则称数为 “等比数”， 比值称为数的“相似比”．此时记 ， 例如 9632， 因为 ， 比值 3 为正整数， 所以9632为“等比数”， “相似比”为 ．

（1）设数  的十位上的数字为， 个位上的数字为 ．若 ， 求  和 的值；

（2）已知都是“等比数”， 其中的个位数为的个位数为 2， 且  的相似比为 3， 若能被11整除， 求和．

24. 如图 1， 在平面直角坐标系中， 直线 与  轴交于点 ， 与 轴交于 点 ， 直线 与  轴交于点 ， 与直线 交于 ．

（1）求直线 的解析式．

（2）点 是射线 上的动点， 过点 作PQy且与 交于点 轴垂足为点 轴垂足为点 ， 当四边形 为正方形时， 求出正方形的边长．

（3）如图 2， 连接 ， 将 沿直线 翻折得到 ．若点 为直线 上一动点， 在平面内是否存在点 ， 使得以 为顶点的四边形为菱形， 若 存在， 直接写出 的坐标， 并把求其中一个点 的过程写出来， 若不存在， 请说明理由．

25. 已知和都是等腰直角三角形，，，，连接．

（1）如图1，若点B，D，E在同一直线上，已知，求线段的长度．

（2）如图2，当时，过点B作并交的延长线于点，与交于点，求证：．

（3）如图 3，已知若，直线与直线相交于点，过点作直线 垂直于，点是直线上一点，直接写出的最小值．

答案

1-12 CCBDD  DDABB  AB

13.

14.

15. ##

16. 9

17.（1）解：

∴，

∴，

∴，

解得：；

（2）解：

去分母得：，

解得：，

当时，，

所以原方程的解为．

18.（1）解：作线段的垂直平分线分别交于点，如图所示：

（2）证明：∵是线段的垂直平分线，

∴，，

∵，

∴，

∵线段是的角平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是菱形．

故答案为：，，，，．

19.（1）解：把代入得，，

∴反比例函数的关系式为，

把代入得，，

∴点，

把点，代入一次函数得，

，

解得：

∴一次函数的关系式为：；

用两点法做出一次函数的图象，如图所示：

（2）解：如图所示：

∵，，，

∴

．

∴四边形的面积为6．

20. （1）

抽查的男生总人数为：（人）

∴女生抽查人数也是50人；

（人）

女生成绩B所占的百分比为：

50×14%=7，

7+19=26，

中位数是第25个和第26个成绩的平均数，第25个数是194，第26个数是196

∴中位数是

故答案为：

（2）女生的方差比男生的方差小，所以女生的成绩好；

（3）抽取的女生满分的人数为：（人）

∵该校八年级有1200人（其中男女生人数相等）

∴男女生各600人

男生满分人数为：（人）；

女生满分人数为：（人）

∴成绩满分的人数为（人）

答：该年级体育期末测试中跳绳成绩为满分的人数约为648人．

21.（1）解：设每顶型帐篷是x元，型帐篷的进价分别是y元，根据题意得：

，解得：，

答：每顶型帐篷是240元，型帐篷的进价分别是160元；

（2）解：根据题意，8月A型帐篷得单价为300元，销量为顶，8月B型帐篷得单价为元，销量为顶，根据题意得：

，

整理得：

解得：或（舍去），

故．

22.（1）解：由题可知，，

则，

∵，，，

∴，，

又∵，

故，

解得；

（2）解：线段的长是定值为，理由如下，

由题可知，，

∴，，

，，

∵，,

∴，

化简得，

∵，，，

∴，

解得，

故线段的长是定值为．

23.（1）解：设数a的千位数字为，则百位数字为，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，且x，y均为正整数，

∴；

（2）解：∵的个位数为7，百位上的数字与个位上的数字之比， 且比值为正整数，

∴A的百位上的数字为7，

∴A的相似比为1，

设，

∵B的个位数为 2， 且的相似比为 3，

∴可设，

∴

∵能被11整除，

∴能被11整除，

∵，

∴，

∴可以取22，33，44，55，66，77，88，99，

∵m，n为正整数，

∴满足条件的m，n的值有或或，

∴满足条件的A，B有或或，

∴，或，或，，

综上所述，的值为97或77或57；的值为12或22或32．

24.（1）解：∵B（0，6），

∴，

∵，

∴，

∴A，

∵，

∴，

∴C，

将A，B（0，6）代入，

∴，

解得，

∴，

将D代入，

∴，

解得，

∴D，

设直线直线的解析式为，
∴，

解得，

∴；

（2）解：设P，则Q），F，H，

∵，

∴，，

∵四边形为正方形，

∴，

解得或，

∵P点在射线上，

∴，

∴，

∴正方形的边长为；

（3）解：存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：

设M，N，

∵D，B（0，6），

∴，，

设G，

∴，，

解得，；，，

∴（舍去），，

∴，

①当为菱形对角线时，，

∴

解得，

∴N；

②当为菱形对角线时，，

∴，

解得或，

当时，，此时点M与点B重合，不全题意，

∴，

∴N；

③当为菱形的对角线时，，

∴，

解得或，

∴N或；

综上所述：N点坐标为或或或．

25.（1）如图1中，设与交于点O

∵和都是等腰直角三角形

∴，

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴；

（2）证明：如图2中，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∵

∴；

（3）如图3，作点A关于的对称点J，连接，，过点J作交的延长线于点M，取的中点O，连接，．

∵

∴

∴

∵，A，J关于对称

∴

∴

∵

∴

∴

∴

同法可证

∴

∴

∵

∴

∴

∴的最小值为

∵A，J关于对称

∴

∴

∴的最小值为．