云南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期第二学段模块考试数学试题

2022-2023学年上学期第二学段模块考试试题

高二年级数学学科模块《选择性必修第二册》

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号，在规定的位置贴好条形码.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效.

第I卷（选择题，共60分）

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.若，则在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

3.己知等差数列的前项和为是关于的方程的两根，则（    ）

A.22    B.24    C.26    D.28

4.已知，若，则（    ）

A.    B.    C.    D..

5.函数的图像大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户､存入规定数额资金､用于教育目的的专项储签，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策，若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，则一次性取出的金额总数为（    ）（假设教育储蓄存款的年利率为5%，取）

A.14400元    B.15400元    C.16200元    D.18500元

7.球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线，已知A，B，C是球O球面上的三个点，，三棱锥的体积为，则两点测地线长为（    ）

A.2    B.4    C.    D.

8.若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列关于正切函数的描述正确的是（    ）

A.最小正周期

B.对称中心的坐标

C.在定义域内单调递增

D.值域

10.如图，在棱长为2的正方体中为上的动点，则（    ）

A.三棱锥的体积为

B.对任意点平面

C.线段长度的最小值为2

D.设与平面所成角的大小为，则

11.如图是唐代纹八棱金杯，其主体纹饰为八位手执乐器的乐工，分布于八个棱面，乐工手执竖箜篌､曲项琵琶､排箫等，金杯无论造型还是装饰风格都有着浓郁的域外特征，是唐代中外文化交流的见证､该杯的主体部分可近似看作是双曲线与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与轴交于两点，则（    ）

A.的方程为

B.的离心率

C.的焦点到浙近线的距离为

D.若为上任意一点，则的最大值为

12.已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ）

A.    B.周期

C.在单调递减    D.满足

第II卷（非选择题，共90分）

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，若，则__________.

14.过原点且与相切的直线方程是__________.

15.抛物线C：的焦点与双曲线的右焦点重合，且与双曲线交于两点，恰好过焦点，则双曲线的离心率为__________.

16.若不等式恒成立，则实数的最小值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知公差不为0的等差数列的前项和为成等差数列，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）若，数列的前项和为.证明：.

18.（12分）在中，点为线段的四等分点且靠近点与互补.

（1）求的值；

（2）若，求的长.

19.（12分）2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组[，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求样本中数据落在的频率

（2）求样本数据的第50百分位数；

（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.

20.（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形且为的中点，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

21.（12分）已知椭圆的焦距为2，且经过点.

（1）求的方程；

（2）若直线与交于两点，的中点为，当时，求的值.

22.（12分）已知函数.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）在恒成立，求的取值范围.

2022-2023学年上学期第二学段模块考试试题

高二年级数学学科模块《选择性必修第二册》

参考答案及评分标准

一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.解：因为，所以，故选D.

2.解：因为，所以的虚部是1，故选C.

3.解：因为是关于的方程的两根，所以，故选A.

4.解：因为，因为，所以，故选C.

5.解：因为，所以为奇函数，排除A，C选项；当正确，故选B.

6.解：金额总数为元，故选A.

7.解：由题意知，截面圆的圆心在的中点处，所以平面，

，设，球半径为，解得，所以，而易知，所以两点测地线长为，故选C.

8.解：易知，所以，因为，所以，即；令，所以在单调递增，，所以当时，，即，所以

，又，所以，故，故选B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.解：正切函数最小正周期正确，对称中心的坐标正确，在定义域内不具有单调性，C错误，值域R，D正确，故选ABD.

10.解：三棱锥V三棱锥，A正确：

如图，连接

，易知，而，

，所以平面平面，因为平面，

所以平面正确；易知为正三角形，当为中点时，错误；

如图，在上取点，使得，连接，易证四边形为平行四边形，因为平面，所以平面，所以与平面所成角为，而，所以，D正确，故选ABD.

11.解：由题意知，代入的方程解得，所以的方程为，A正确；

因为，所以离心率错误；的焦点为，渐近线为，所以焦点到渐近线的距离为，C正确：，当且仅当，即时取等号，但将代入的方程后，无解，D错误，故选AC.

12.解：由知的对称轴为，所以正确：，又

图像关于对称，即，故，所以，即

，所以的周期为4，B错误，因为在上单调递增，，

所以在上单调递增，又图像关于对称，所以在上单调递增，因为关于对称，

所以在上单调递减，C正确；根据周期性，，因为关于对称，所以，因为周期，所以；结合在上单调递减，上单调递增，故，即，D正确，故选ACD.

三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.解：由得，即，解得，所以.故

答案为：.

14.解析：过原点且与相切的直线方程是

15.解析：由题意：，解得：

16.解：令，易知在上单调递增，由得.

，所以，结合知，.故答案为：.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.

17.（本小题满分10分）

解：（1）设的公差为，由题意得，即，

解得，所以.

（2），

所以.

18.（本小题满分12分）

解：（1）因为与互补，所以，

在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，

所以，因为点为线段的四等分点且靠近点，所以.

（2）因为，所以，设，由（1）知，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，即，所以，解得.

所以长为.

19.（本小题满分12分）

解：（1）解：依题意，样本中数据落在的频率为

（2）解：样本数据的第50百分位数落在第四组，

且第50百分位数为.

（3）与两组的频率之比为，

现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，

则组抽取2人，记为，

组抽取4人，记为.

所有可能的情况为共15种.

其中至少有1人的年龄在的情况有共9种，记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，

则.

20.（本小题满分12分）

解：（1）因为在Rt和Rt中，，

，所以，因为，

所以，因为，所以平面，

因为平面，所以，因为，

所以平面.

（2）因为，所以，

可如图建立空间直角坐标系，

所以，所以，

由（1）知，平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则有，取得，

所以，设二面角的大小为，则.

21.（本小题满分12分）

解：（1）由题意知，，所以，所以的方程为.

（2）当时，，此时，且；设，

联立，得，令解得，

所以，①

，②

把①代入②中整理得：，解得或.

22.（本小题满分12分）

解：（1）当时，，所以，故在处的切线方程为..

（2）由题意知，，

当时，对任意，则，所以在单调递减，

，满足题意；

当时，在上恒成立，所以在单调递减，则，

①当，即时，，所以在单调递减，所以，满足题意；

②且时，即时，由零点存在性定理知，，使得，

当时，，所以在单调递增，所以，不满足题意；

③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意.

综上，的取值范围为.