第二章 直线和圆的方程 学案

这是一份第二章 直线和圆的方程，共134页。
 2．1　直线的倾斜角与斜率知识点一　直线的倾斜角(一)教材梳理填空1．确定一条直线的条件确定一条直线的条件是一点和一个方向．规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．2．直线的倾斜角前提条件直线l与x轴相交定义以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角特殊情况当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°取值范围0°≤α<180°　[微提醒]　在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．(二)基本知能小试1.如图所示，直线l的倾斜角为(　　 )A．60°　　　　　　　 B．150°C．0°  D．不存在答案：B2．若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是(　　)A．45°  B．135°C．45°或135°  D．－45°解析：选B　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.知识点二　直线的斜率(一)教材梳理填空1．斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.3．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0(二)基本知能小试1．判断正误(1)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　)(2)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．(　　)答案：(1)×　(2)√2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　 )A．5  B．8C.  D．7解析：选C　 由斜率公式可得＝1，解得m＝.3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　 )A.   B.C．1   D.解析：选A　由题意可知，k＝tan 30°＝.题型一　对倾斜角、斜率概念的理解 [学透用活][典例1]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)A．α＋45°　　　　　 B．α－135°C．135°－α  D．α＋45°或α－135°[解析]　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．[答案]　D　　　求直线倾斜角的方法及关注点定义法根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角关注点结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论[对点练清]　若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)A．0°≤α<90°  B．90°≤α<180°C．90°<α<180°  D．0°<α<180°解析：选C　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.题型二　直线的斜率 [学透用活][典例2]　(1)[多选]已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为(　　 )A．(0，－4)  B．(4,0)C．(2,0)  D．(0，－8)(2)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________.(3)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．[解析]　(1)设B(x,0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2,0)或(0，－8)．(2)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5.(3)由斜率公式k＝＝1，得m＝1.[答案]　(1)CD　(2)－5　(3)1[方法技巧]求直线斜率的两种类型一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为90°的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况．[对点练清]1．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________．解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1.由kAC＝3kBC，得＝3·，∴m＝4.答案：42．已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．kAB＝＝0，kAC＝＝－1.∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在．题型三　倾斜角与斜率的简单综合 [学透用活][典例3]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．   [解]　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，(1)要使l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.[方法技巧]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决；(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解；(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．[对点练清]1．[求参数范围]若经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，1)  B．(－1，＋∞)C．(－1,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C　∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝>0，∴－1<m<1.2．[求参数值]已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为________．解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即＝，解得a＝2或.答案：2或3．[求斜率范围]将本例变为： 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．解：如图所示．当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，因为kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是.[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率．解：如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝BD＝1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC＝＝1，kAB＝＝－1，kOA＝kBC＝0，所以OA，AB，BC，CO四边所在直线的倾斜角分别为0°，135°，0°，45°.二、应用性——强调学以致用2．利用斜率公式证明不等式：>(0<a<b且m>0)．[析题建模]　―→证明：∵0<a<b，∴点P(b，a)在第一象限且位于直线y＝x的下方．又m>0，∴－m<0，∴点M(－m，－m)在第三象限且必在直线y＝x上．∴直线MP的倾斜角大于OP(O为坐标原点)的倾斜角，即kMP>kOP，又kMP＝，kOP＝，∴>.[课下过关检测]1．[多选]给出下列说法，其中正确的是(　　)A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°B．若k是直线的斜率，则k∈RC．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角解析：选ABC　显然A、B、C正确，D错误．2．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)A．45°，1　　　　　　　 B．135°，－1C．90°，不存在  D．180°，不存在解析：选C　由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.3．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　 )A．60°  B．30°C．60°或120°  D．30°或150°解析：选C　 由题意知|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－，∴直线l的倾斜角为60°或120°.4．斜率为2的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)，则a，b的值为(　　 )A．a＝4，b＝0  B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3  D．a＝－4，b＝3解析：选C　由题意，得即解得a＝4，b＝－3.5.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3, 则有(　　 )A．k1<k2<k3B．k2<k3<k1C．k1<k3<k2D．k2<k1<k3解析：选C　由题干图可知，直线l1的斜率为负，最小；直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，且都小于90°，所以直线l2的斜率大于直线l3的斜率．6．经过A(1,3)，B(－4,13)两点的直线的方向向量为(2，k)，则k的值为________．解析：易得＝，解得k＝－4.答案：－47．直线l经过点(－1,0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．解析：如图所示．∵直线l的倾斜角为150°，∴绕(－1,0)点逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan 30°＝.答案： 30°　　8．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．解析：∵k＝且直线的倾斜角为钝角，∴<0，解得－2<a<1.答案：(－2,1)9．已知直线l的斜率为k＝1－m2(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．解：因为k＝1－m2≤1，所以当k∈[0,1]时，倾斜角α∈；当k∈(－∞，0)时，倾斜角α∈，故倾斜角的取值范围是∪.10．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．证明：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.∴kAB＝kAC.∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一直线．故A，B，C三点共线．1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　 )A．α  B．180°－αC．180°－α或90°－α  D．90°＋α或90°－α解析：选D　当l方向向上的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α.故选D.2．若直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　　 )A．[0,2]  B．[0,1]C.   D.解析：选A　如图所示，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．3．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是________．解析：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a－3，b＋1)，此时直线PQ与l重合，故l的斜率k＝kPQ＝＝－.答案：－4.如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．解：因为OD ∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝；DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0；由菱形的性质知，∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝，直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.5．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．解：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以的最大值为2，最小值为.知识点一　两条直线平行与斜率之间的关系(一)教材梳理填空设两条不重合的直线l1，l2，斜率若存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2.则对应关系如下：条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°图示对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在　[微提醒]　若没有特别说明时，两条直线l1，l2是指两条不重合的直线．(二)基本知能小试1．判断正误(1)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　 )(2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等．(　　 )答案：(1)√　(2)√2．已知A(2,0)，B(3，)，直线l∥AB，则直线l的倾斜角为________．解析：∵l∥AB，∴kl＝kAB＝＝.∴直线l的倾斜角为60°.答案：60°3．若l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0.答案：0 知识点二　两条直线垂直与斜率之间的关系(一)教材梳理填空设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则对应关系如下：图示对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在(倾斜角为90°)，另一条斜率为零(倾斜角为0°)，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2(二)基本知能小试1．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　 )A．平行　　　　　　　　 B．垂直C．重合  D．非以上情况解析：选B　∵k1·k2＝2×＝－1，∴l1⊥l2.2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　　)A．α1－α2＝90°  B．α2－α1＝90°C．|α2－α1|＝90°  D．α1＋α2＝180°解析：选C　由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°.题型一　两条直线平行的判定及应用 [学透用活][典例1]　[多选]下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有(　　 )A．l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)B．l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)C．l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)D．l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5)[解析]　对于A，∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，∴kAB＝kCD，∴l1∥l2；对于B，∵kl2＝＝1≠kl1＝2，∴l1不平行于l2；对于C，∵kl1＝tan 60°＝，kl2＝＝，∴kl1＝kl2，∴l1∥l2；对于D，l1，l2斜率均不存在，∴l1∥l2.[答案]　ACD[方法技巧]　判断两条直线平行的方法步骤[对点练清]1．在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．解析：∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF∥AB.∴kEF＝kAB＝＝－2.答案：－22．已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________.解析：kAB＝＝－，当2－2a＝－a，即a＝2时，kAB＝－，kCD不存在．∴AB和CD不平行；当a≠2时，kCD＝＝.由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0.∴a＝3或a＝－1.当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，∴AB与CD平行．当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，∴AB与CD重合．∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．答案：3题型二　两条直线垂直的判定及应用 [探究发现](1)已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，应满足什么条件？若l1⊥l2，应满足什么条件？提示：k1＝k2且b1≠b2；k1·k2＝－1.(2)若两条直线的斜率均不存在，这两条直线位置关系如何？提示：平行或重合．[学透用活][典例2]　判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．[解]　(1)∵k1＝＝2，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．(2)∵k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.[方法技巧]使用斜率公式判定两直线垂直的3步骤[对点练清]1．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过点(－2,1)斜率为－的直线垂直，则实数a的值为(　　)A．－　　　　　　　　 B．－C.   D.解析：选A　易知a＝0不符合题意．当a≠0时，直线l的斜率k＝＝－，由－·＝－1，得a＝－，故选A.2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是_______．解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1.解得x＝1或2.所以C的坐标为(1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)题型三　两条直线平行与垂直的综合 [学透用活][典例3]　(1)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　)A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．①若l1∥l2，求a的值；②若l1⊥l2，求a的值．[解]　(1)选C　kAB＝＝－，kAC＝＝，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．(2)设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.①若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－.∵k1＝，∴＝－，解得a＝1或a＝6.经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.②若l1⊥l2.当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.由k1k2＝－1可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.[方法技巧]1．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2．由几何图形的形状求参数的注意点由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．[对点练清]　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．解：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求点D的坐标；(2)试判断平行四边形ABCD是否为菱形．解：(1)设D(a，b)，由四边形ABCD为平行四边形，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即解得所以D(－1,6)．(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，所以kAC·kBD＝－1.所以AC⊥BD.故平行四边形ABCD为菱形．二、应用性——强调学以致用2.如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5 m，宽AB为3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直？[析题建模]　建立直角坐标系，求(设)出相关点的坐标，再由两垂直直线斜率之积为－1建立方程求解．解：如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．由AD＝5 (m)，AB＝3 (m)，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1.所以·＝－1，解得x＝＝3.2，即BM＝3.2 (m)时，两条小路所在直线AC与DM互相垂直．[课下过关检测]1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　 )A．垂直　　　　　　　　 B．平行C．重合  D．平行或重合解析：选D　∵直线l1的斜率为tan 135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，∴直线l1与l2平行或重合．2．[多选]如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为(　　 )A.  B．aC．－  D．不存在解析：选CD　当a≠0时，由l1⊥l2，得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－.当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，k2不存在．3．已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　 )A．1  B．－1C．2  D．－2解析：选B　因为MN∥PQ，所以kMN＝kPQ. 即＝，解得m＝－1.4．在直角坐标平面内有两点A(4,2)，B(1，－2)，在x轴上有点C，使∠ACB＝90°，则点C的坐标是(　　 )A．(3,0)  B．(0,0)C．(5,0)  D．(0,0)或(5,0)解析：选D　设C(a,0)，则·＝－1，解得a＝0或a＝5.∴点C的坐标为(0,0)或(5,0)．故选D.5．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　 )A．20°，110°  B．70°，70°C．20°，20°  D．110°，20°解析：选A　如图，∵l∥l1，∴l1的倾斜角为20°，∵l2⊥l，∴l2的倾斜角为90°＋20°＝110°.6．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝______.若l1∥l2，则m＝______.解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.答案：－2　27．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．解析：由题意得l1∥l2，∴k1＝k2.∵k1＝－，k2＝3，∴－＝3，∴a＝－6.答案：－68．若过点P(a，b)，Q(b－1，a＋1)的直线与直线l垂直，则直线l的倾斜角为________．解析：kPQ＝＝＝－1，由kPQ·kl＝－1，得kl＝1，∴直线l的倾斜角为45°.答案：45°9．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．解：因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7.10．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解：(1)由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或1.(2)由＝3及垂直关系，得＝－，解得m＝或－3.(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.  1.[多选]如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1，1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　 )A．(－3,1)  B．(4,1)C．(－2,1)  D．(2，－1)解析：选BCD　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即平行四边形AOBC1，平行四边形ABOC2，平行四边形AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标，故选B、C、D.2．已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________．解析：设P(0，y)，由∠BAP＝90°知，kAB·kAP＝·＝＝－1，解得y＝－11.所以点P的坐标是(0，－11)．答案：(0，－11)3．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2＋2)，B(0，2－2)，C(4,2)，则△ABC是________．(填△ABC的形状)解析：因为kAB＝＝2，kCB＝＝，kAC＝＝－，kCB·kAC＝－1，所以CB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．答案：直角三角形4．已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．解：l1的斜率存在，且k1＝＝a，当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.5．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，试求m的值．解：如图所示，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，又直线AB的斜率kAB＝＝，所以线段AB的垂直平分线l2的斜率k2＝.因为l1与l2平行，所以k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.2．2.1　直线的点斜式方程知识点一　直线的点斜式方程(一)教材梳理填空直线的点斜式方程名称点斜式方程已知条件直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k示意图方程形式y－y0＝k(x－x0)适用条件斜率存在　[微提醒]　当直线l的倾斜角为0°时(图1)，tan 0°＝0，即k＝0，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0＝0，即y＝y0.　当直线l的倾斜角为90°时(图2)，由于tan 90°无意义，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.(二)基本知能小试1．判断正误(1)对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(　　 )(2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(　　 )答案：(1)×　(2)√2．若直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　 )A．2　　　　　　　　　　　 B．－1C．3  D．－3解析：选C　由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.3．过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线的点斜式方程为________．解析：k＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)．答案：y－2＝－(x＋1)知识点二　直线的斜截式方程(一)教材梳理填空1．直线在y轴上的截距定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．符号：可正，可负，也可为零．2．直线的斜截式方程名称斜截式方程已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b示意图方程形式y＝kx＋b适用条件斜率存在(二)基本知能小试1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是(　　 )A．－2,3  B．3，－2C．－2，－2  D．3,3答案：A　2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　 )A．y＝x＋1  B．y＝x－1C．y＝－x＋1  D．y＝－x－1解析：选D　由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，选D.3．直线y＝(x－)的斜率与在y轴上的截距分别是(　　 )A.，   B.，－3C.，3  D．－，－3解析：选B　由直线方程知直线斜率为，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3. 故选B.题型一　直线的点斜式方程 [学透用活][典例1]　写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．[解]　(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.(3)由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．[方法技巧]求直线的点斜式方程的方法步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[对点练清]1．若一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．解析：因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1，所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.答案：y－5＝x－22．经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．解析：因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.答案：x＝－53．求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．解：因为直线y＝x的斜率为，所以倾斜角为30°.所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为.所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)．题型二　直线的斜截式方程 [学透用活]对截距的理解(1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距. 并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．[典例2]　(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是___________．(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．[解]　(1)∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝x＋3或y＝x－3.答案：y＝x＋3或y＝x－3(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2，由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.[方法技巧]求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.[对点练清]已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．解：设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线l的斜截式方程为y＝x＋1或y＝x－1.题型三　利用直线的斜截式方程判断两直线的关系 [学透用活][典例3]　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？[解]　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，∴解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．[方法技巧]判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合．当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．[对点练清](1)求经过点(0,2)，且与直线l1：y＝－3x－5平行的直线l2的方程．(2)求经过点(－2，－2)，且与直线l1：y＝3x－5垂直的直线l2的方程．解：(1)由l1：y＝－3x－5得k1＝－3，由两直线平行知k2＝k1＝－3，所以所求直线方程为y＝－3x＋2.(2)由l1：y＝3x－5得k1＝3，由两直线垂直知k1k2＝－1，所以k2＝－.所以所求直线方程为y＋2＝－(x＋2)．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．求经过点A(－2,2)并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程．解：因为直线的斜率存在，所以设直线方程为y－2＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋2，令x＝0，得y＝2k＋2，令y＝0，得x＝－，由2k＋2>0，－>0，得－1<k<0，所以(2k＋2)＝1，解得k＝－2或k＝－，因为－1<k<0，所以k＝－，所以直线方程为y＝－x＋1.二、应用性——强调学以致用2．一根弹簧挂6 N的物体时长11 cm，挂9 N的物体时长17 cm.已知弹簧长度l(cm)和所称物体的重量G(N)的关系可用直线方程来表示，写出点斜式方程，并根据这个方程，求弹簧长度为13 cm时所挂物体的重量．解：由题意可知，直线过(6,11)和(9,17)两点，∴直线的斜率k＝＝2，∴直线的点斜式方程为l－11＝2(G－6)．当l＝13时，代入方程得G＝7，即弹簧长度为13 cm时所挂物体的重量为7 N.3．在路边安装路灯，路宽23 m，灯杆长2.5 m，且与灯柱成120°.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？(精确到0.01 m)[析题建模]解：记灯柱顶端为B，灯罩处为A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路路面的中线交于点C.以灯柱底端O点为原点，灯柱OB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则点B的坐标为(0，h)，点C的坐标为.因为∠OBA＝120°，所以直线BA的倾斜角为30°，则点A的坐标为，即.因为CA⊥BA，所以kCA＝－＝－＝－.由点斜式，得直线CA的方程是y－＝－，因为灯罩轴线CA过点C，代入直线方程，解得h≈14.92(m)．故灯柱高约为14.92 m.[课下过关检测]1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为(　　 )A．y＋2＝(x－3)　　　　 B．y－2＝(x＋3)C．y－2＝(x＋3)  D．y＋2＝(x＋3)解析：选C　因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝，由直线方程的点斜式可得方程为y－2＝(x＋3)．2．直线y＝ax－的图象可能是(　　 )解析：选B　由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．3．若直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点(　　)A．(－1,2)  B．(2,1)C．(1，－2)  D．(1,2)解析：选C　由两直线垂直得m＝－1，把m＝－1代入y－2m＝m(x－1)得过点为(1，－2)．故选C.4．经过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是(　　)A．y＝－x－3  B．y＝x＋3C．y＝－x＋3  D．y＝x－3解析：选C　过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程可以设为y－4＝k(x＋1)．令y＝0，得x＝－－1＝3，解得k＝－1，即所求直线方程为y＝－x＋3.5．[多选]下列四个结论中正确的是(　　)A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程解析：选BC　A不正确，方程k＝不含点(－1,2)；B正确；C正确；D只有斜率k存在时成立．6．若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的点斜式方程为________．解析：∵直线OP的斜率为－，又OP⊥l，∴直线l的斜率为2.∴直线的点斜式方程为y－1＝2(x＋2)．答案：y－1＝2(x＋2)7．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为________．解析：∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.答案：－108．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝________.解析：因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，即a2＝1. 所以a＝±1. 又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a＝－1.答案：－19．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(，－1)；(2)在y轴上的截距是－5.解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.(1)∵所求直线经过点(，－1)，斜率为，∴所求直线方程是y＋1＝(x－)．(2)∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝x－5.10．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程．解：设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，∴kAD·kBC＝－1，即·kAD＝－1，解得kAD＝.∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝(x＋5)，即y＝x＋3.1．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．解析：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.答案：2．已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点__________. 解析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋k，即y＝k(x＋1)，其过定点(－1,0)．答案：(－1,0)3．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为________．解析：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，所以直线l的方程为y＝x－.答案：y＝x－4．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求l′的斜截式方程，使得：(1)l′与l平行，且过点(－1,3)；(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.解：∵直线l的方程为3x＋4y－12＝0，∴直线l的斜率为－.(1)∵l′与l平行，∴直线l′的斜率为－.∴直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即y＝－x＋.(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.设l′在y轴上的截距为b，则l′在x轴上的截距为－b，由题意可知，S＝|b|·＝4，∴b＝±，∴直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－.5．(1)已知直线l过点(1,0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程．(2)已知在△ABC中，A(1，－4)，B(2,6)，C(－2,0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程．解：(1)∵直线y＝(x－1)的斜率为，∴其倾斜角为60°，且过点(1,0)．又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1,0)，如图所示，易知直线l的倾斜角为30°或90°.故直线l的方程为y＝(x－1)或x＝1.(2)由题意知，kBC＝＝.因为AD⊥BC，所以直线AD的斜率存在，且kAD＝－.故直线AD的方程为y＋4＝－(x－1)．6．当－1<x<1时，直线l：y＝mx＋1在x轴上方，求实数m的取值范围．解：由题意，得当－1<x<1时，y>0，如图所示，要满足题意，只需点A(－1，－m＋1)，B(1，m＋1)在x轴上方或在x轴上即可，所以解得－1≤m≤1，故实数m的取值范围是[－1,1]．2．2.2　直线的两点式方程知识点一　直线的两点式方程(一)教材梳理填空名称两点式方程已知条件经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)示意图方程形式＝适用条件斜率存在且不为零(二)基本知能小试1．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是(　　 )A．x＋y＋1＝0　　　　　 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0  D．x－y－1＝0解析：选D　由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.2．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为(　　)A．2  B．－3C．－27  D．27解析：选D　由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0.令y＝0，得x＝27.知识点二　直线的截距式方程(一)教材梳理填空名称截距式方程已知条件直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0示意图方程形式＋＝1适用条件斜率存在且不为零，不过原点  (二)基本知能小试1．过P1(2,0)、P2(0,3)两点的直线方程是(　　)A.＋＝0   B.－＝1C.＋＝1   D.－＝1解析：选C　由截距式得，所求直线的方程为＋＝1.2.如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则(　　 )A．a>0，b>0  B．a>0，b<0　 C．a<0，b>0  D．a<0，b<0解析：选B　很明显M(a,0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a>0，b<0.3．直线－＝1在y轴上的截距是(　　 )A．|b|  B．－b2C．b2  D．±b解析：选B　令x＝0，得y＝－b2.题型一　直线的两点式方程 [学透用活]对直线的两点式方程的3点说明(1)方程也可写成＝，两者形式有异但实质相同．(2)当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为零(y1＝y2)时，不能用两点式表示．(3)如果将直线的两点式方程转化为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用上述公式表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．[典例1]　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.[解析]　(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.(2)由直线方程的两点式得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.[答案]　(1)x＝2　(2)－2[方法技巧]由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标；(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标；(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．[对点练清]已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．解：∵A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为＝，即x－y－3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.题型二　直线的截距式方程 [学透用活]解读直线的截距式方程(1)截距式方程＋＝1应用的前提是a≠0且b≠0，即直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程．(2)截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为“1”．(3)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，在求直线方程时合理地选择方程形式，会加快解题速度．[典例2]　求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．[解]　法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l的方程为x－y－3＝0，综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－