第一章章末检测

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第一章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．空间直角坐标系中，向量a＝(x1，y1，z1)，向量b＝(x2，y2，z2)，则“＝＝”是“向量a与b共线”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A　【解析】若＝＝＝λ，则a＝λb，所以a与b共线．若a与b共线，如a＝(1,0,0)，b＝(3,0,0)，无法得到＝＝.所以“＝＝”是“向量a与b共线”的充分不必要条件．2．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的法向量为a＝(2，－2,1)，已知P(－1,3,2)，则P到平面OAB的距离等于(　　)A．4 B．2C．3 D．1【答案】B　【解析】设点P到平面OAB的距离为d，则d＝，因为a＝(2，－2,1)，P(－1,3,2)，所以d＝＝2.3．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　)A．(－2,2,0) B．(2，－2,0)C． D．【答案】C　【解析】由＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，所以·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，所以H.4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)A．有相同起点的向量 B．等长的向量C．共面向量 D．不共面向量【答案】C　【解析】因为－＝＝，所以，，共面．5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是(　　)A． B．C． D．【答案】C　【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，所以＝(－1,0,1)，＝.设平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，则即所以x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2,1,2)．而平面ABCD的一个法向量u＝(0,0,1)，因为cos〈n，u〉＝.所以sin〈n，u〉＝.6．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)A．－1 B．0C． D．1【答案】C　【解析】因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.7．在以下命题中，不正确的个数为(　　)①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．5 B．4C．3 D．2【答案】B　【解析】①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知，正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．8．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　)A． B．C． D．【答案】C　【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F，所以＝(0,0，－2)，＝，＝.设n＝(x，y，z)是平面DEF的法向量，取x＝2，则z＝1，y＝0，所以n＝(2,0,1)是平面DEF的一个法向量．设直线PA与平面DEF所成的角为θ.所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各选项中，不正确的是(　　)A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件C．若，共线，则AB∥CDD．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面【答案】BCD　【解析】显然A正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．10．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是(　　)A．＋2＋2＋B．2＋2＋3＋3＋C．＋＋D．－＋－【答案】BD　【解析】A中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；B中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；C中，原式＝，不符合题意；D中，原式＝(－)＋(－)＝0.11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的有(　　)A．＋与＋是一对相反向量B．－与－是一对相反向量C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量D．－与－是一对相反向量【答案】ACD　【解析】如图，A中，＝－，＝－，所以＋＝－(＋)，是一对相反向量；B中，－＝，－＝，而＝，故不是相反向量；C中，同A也是正确的；D中，－＝，－＝＝－，是一对相反向量．12．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是(　　)A．CQ⊥平面PADB．PC与平面AQC所成角的余弦值为C．三棱锥B－ACQ的体积为6D．四棱锥Q－ABCD外接球的内接正四面体的表面积为24【答案】BD　【解析】取AD的中点O，BC的中点E，连接OE，OP，因为三角形PAD为等边三角形，所以OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD．因为AD⊥OE，所以OD，OE，OP两两垂直，如图，以O为坐标原点，分别以OD，OE，OP所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，D(，0,0)，A(－，0,0)，P(0,0，3)，C(，2，0)，B(－，2，0)．因为点Q是PD的中点，所以Q，平面PAD的一个法向量m＝(0,1,0)，＝，显然m与不共线，所以CQ与平面PAD不垂直，所以A不正确；＝(，2，－3)，＝，＝(2，2，0)，设平面AQC的法向量n＝(x，y，z)，则，令x＝1，则y＝－，z＝－，所以n＝(1，－，－)，设PC与平面AQC所成角为θ，则sin θ＝＝＝，所以cos θ＝，所以B正确；三棱锥B－ACQ的体积为VB－ACQ＝VQ－ABC＝S△ABC·OP＝××2×2××3＝6，所以C不正确；设四棱锥Q－ABCD外接球的球心为M(0，，a)，则MQ＝MD，所以2＋()2＋2＝2＋2＋a2，解得a＝0，即M(0，，0)为矩形ABCD对角线的交点，所以四棱锥Q－ABCD外接球的半径为3，设四棱锥Q－ABCD外接球的内接正四面体的棱长为x，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为x，所以32＝62，得x2＝24，所以正四面体的表面积为4×x2＝24，所以D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2021年潮州模拟)由空间向量a＝(1,2,3)，b＝(1，－1,1)构成向量集合A＝{x|x＝a＋kb，k∈Z}，则向量x的模|x|的最小值为________．【答案】　【解析】因为a＝(1,2,3)，b＝(1，－1,1)，所以x＝a＋kb＝(1＋k，2－k,3＋k)，所以|x|＝＝＝.因为k∈Z，所以k＝－1时，|x|的值最小，最小值为.14．下列命题：①|a|＋|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足＝2＋3－4，则P，A，B，C四点共面；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题的序号是________．【答案】②③　【解析】①|a|＋|b|＝|a＋b|可推得a与b同向，即a，b共线，但a，b共线，若反向，则不能推出|a|＋|b|＝|a＋b|，故①错误；②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足＝2＋3－4，则－＝2－2＋2－2，即＝2＋2，故向量，，共面，即P，A，B，C四点共面，故②正确；③若两个平面垂直，则它们的法向量一定垂直，由原命题和逆否命题的关系可得，若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，故③正确．15．如图，设O为□ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝________.【答案】－1　【解析】＝－＝－＝(＋)－＝(＋)－＝(＋－)－＝－＋＋.所以x＝，y＝－.所以x＋y＝－1.16．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________；若D1E⊥EC，则AE＝________.【答案】90°　1　【解析】长方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，如图，建立空间直角坐标系，又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则D(0,0,0)，D1(0，0,1), A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,2,0)，设E(1，m,0)，0≤m≤2，则＝(1，m，－1)，＝(－1,0，－1)，所以·＝－1＋0＋1＝0，所以直线D1E与A1D所成角的大小是90°.因为＝(1，m，－1)，＝(－1，2－m,0)，D1E⊥EC, 所以·＝－1＋m(2－m)＋0＝0，解得m＝1，所以AE＝1.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)?解：(1)因为a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，所以2a＋b＝(0，－5,5)．所以|2a＋b|＝＝5.(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，则＝λ，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，－1，－2)，所以所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，所以＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又因为b＝(－2,1,1)，⊥b，所以·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，所以λ＝，所以E.所以在直线AB上存在点E，使⊥b.18．(12分)已知空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，试求：(1)△ABC的面积；(2)△ABC的AB边上的高．解：(1)＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)，·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，||＝，||＝2，cos〈，〉＝＝－，sin〈，〉＝，S△ABC＝||·||sin〈，〉＝×2×＝3.(2)||＝，设AB边上的高为h，则|AB|·h＝S△ABC＝3，所以h＝3.19．(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，侧面SAC与底面ABC垂直，E，O分别是SC，AC的中点，且SA＝SC＝，BC＝AC，∠ASC＝∠ACB＝90°.(1)求证：OE∥平面SAB；(2)若点F在线段BC上，问：无论点F在BC的何处，是否都有OE⊥SF？请证明你的结论．(1)证明：因为E，O分别是SC，AC的中点，所以OE∥SA．又因为OE⊄平面SAB，SA⊂平面SAB，所以OE∥平面SAB．(2)解：方法一，在△SAC中，因为OE∥AS，∠ASC＝90°，所以OE⊥SC．又因为平面SAC⊥平面ABC，∠BCA＝90°，BC⊂平面SAC，所以BC⊥平面SAC．又OE⊂平面SAC，所以BC⊥OE.因为SC∩BC＝C，所以OE⊥平面BSC．又因为SF⊂平面BSC，所以OE⊥SF.所以无论点F在BC的何处，都有OE⊥SF.方法二，连接SO.因为O是AC的中点，SA＝SC，所以SO⊥AC．又因为平面SAC⊥平面ABC，所以SO⊥平面ABC．同理可得BC⊥平面SAC．如图，在平面ABC内，过点O作OM⊥AC，以O为原点，OM，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则点O(0,0,0)，A(0，－1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，S(0,0,1)，E，＝.由于F∈BC，故可设点F(x,1,0)，则＝(x,1，－1)，·＝0恒成立，所以无论F在BC的何处，都有OE⊥SF.20．(12分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．(1)求证：CD⊥AB；(2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．(1)证明：由已知条件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD．又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB．(2)解：以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,1,0)，所以＝(0，－2,0)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)．设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，则⊥n，⊥n，所以令x＝1，得平面ACD的一个法向量n＝(1,0，－1)，所以点M到平面ACD的距离d＝＝.(3)解：假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，设＝λ，0≤λ≤1，则N(2－2λ，2λ，0)，所以＝(1－2λ，2λ，－1)．又因为平面ACD的一个法向量n＝(1,0，－1)，且直线AN与平面ACD所成角为60°，所以sin 60°＝＝，可得8λ2＋2λ－1＝0，所以λ＝或λ＝－(舍去)．综上，在线段BC上存在点N，使AN与平面ACD所成角为60°，此时＝.21．(12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2.(1)求线段BC1的长度；(2)求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．解：(1)以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，所以＝(0,2,0)，＝(－2，－2,2)，||＝2，||＝＝2.(2)由(1)可知，＝(0,2,0)，＝(－2，－2,2)，所以cos〈，〉＝＝＝＝－.所以异面直线BC1与DC所成的角的余弦值为.22．(12分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．(1)求证：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦值．解：如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.(1)证明：设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·＝0，n1·＝0，得所以z1＝0，x1＝y1，取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·＝0，n2·＝0，得所以x2＝－z2，y2＝z2，取z2＝1，得n2＝(－，，1)．因为n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，所以n1⊥n2，从而平面POD⊥平面PAC．(2)因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量n2＝(－，，1)．设向量n2和n3的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.由图可知，二面角B－PA－C的平面角为锐角，所以二面角B－PA－C的余弦值为.