高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆练习

第三章　3.1.3

A级——基础过关练

1．椭圆＋＝1中，以点M(－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为(　　)

A． B．

C． D．－

【答案】B　【解析】设直线与椭圆交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2，设直线为y＝k(x＋1)＋2，联立得(9＋16k2)x2＋32k(k＋2)x＋16(k＋2)2－144＝0.所以x1＋x2＝，所以＝－2，解得k＝.

2．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)

A．3 B．2

C．2 D．4

【答案】C　【解析】设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，联立得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0得a2＋3b2－16＝0，而b2＝a2－4，代入得a2＋3(a2－4)－16＝0，解得a2＝7，所以a＝.所以长轴长为2.

3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为(　　)

A．1 B．－1

C．－ D．以上都不对

【答案】C　【解析】表示椭圆上的点(x，y)与定点(2,0)连线的斜率．不妨设＝k，则过定点(2,0)的直线方程为y＝k(x－2)．由得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0.令Δ＝(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝±，所以kmin＝－，即的最小值为－.

4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A．＋＝1　 B．＋＝1

C．＋＝1　 D．＋＝1

【答案】D　【解析】由椭圆＋＝1，得b2x2＋a2y2＝a2b2，因为过点F的直线与椭圆＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝－1，则b2x＋a2y＝a2b2①，b2x＋a2y＝a2b2②，由①－②得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，化简得b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.所以2b2(x1－x2)－2a2(y1－y2)＝0，＝，又直线的斜率为k＝＝，即＝.因为b2＝a2－c2＝a2－9，所以＝，解得a2＝18，b2＝9.故椭圆方程为＋＝1.

5．若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为________．

【答案】2　【解析】因为直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，所以原点到直线ax＋by＋4＝0的距离d＝>2，所以a2＋b2<4，所以点P(a，b)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．因为椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，所以圆x2＋y2＝4内切于椭圆，所以点P是椭圆内的点，所以过点P(a，b)的一条直线与椭圆的公共点个数为2.

6．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是__________．

【答案】x＋2y－4＝0　【解析】设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

7．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．

【答案】＋＝1　【解析】据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．因为e＝，所以＝.由△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.

8．(2021年太原模拟)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于点A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．

【答案】　【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则即＋＝0①.

因为＝－②，

联立①②得a2＝2b2，故c2＝a2，即e＝.

9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．

解：(1)由消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.

(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0.

由根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1x2＝.

所以|AB|＝

＝

＝＝

＝

＝.

因为Δ＝4m2－20(m2－1)>0，

所以－<m<.

所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.

10．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点Ο到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆Ε经过Α，Β两点，求椭圆Ε的方程．

解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0.

则原点O到直线的距离d＝＝，

由d＝c，得a＝2b＝2，

解得离心率e＝＝.

(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2①.

依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知AB不与x轴垂直，设其直线方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得

(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.

从而x1x2＝8－2b2.

所以|AB|＝|x1－x2|＝

＝.

由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.

故椭圆E的方程为＋＝1.

B级——能力提升练

11．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为(　　)

A．0 B．2

C．3 D．4

【答案】B　【解析】因为·＝0，所以PF1⊥PF2.所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2.又b＝2，所以点P为短轴的端点，有2个．

12．(多选)点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的值可以是(　　)

A．－ B．－1

C．1 D．

【答案】BC　【解析】由题意知＋<1，解得－<a<.故B，C符合．

13．如图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝__________.

【答案】35　【解析】设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，|F4F|＝|P4F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.

14．已知椭圆C：＋＝1，点M与点C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.

【答案】12　【解析】根据题意，椭圆的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，由于点M的不确定性，不妨令其为椭圆的左顶点M(－3,0)，线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0，2)，则M关于C的焦点的对称点分别为A(－2＋3,0)，B(2＋3,0)，而点N(3,4)，据两点间的距离公式得|AN|＋|BN|＝＋＝12.

15．平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，射线PO交椭圆E于点Q，求的值．

解：(1)因为点在椭圆C上，

所以＋＝1.

又因为椭圆C的离心率为e＝＝，

所以2c＝a，4c2＝3a2，结合c2＝a2－b2可解得a2＝4，b2＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)椭圆E：＋＝1.

P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．

因为＋y＝1，又＋＝1，

即＝1，

所以λ＝2，即＝2.

C级——探究创新练

16．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F(1,0)，上顶点为B，则点B的坐标为________，直线MN与椭圆C交于M，N两点，且△BMN的重心恰为点F，则直线MN的斜率为________．

【答案】(0，)　　【解析】如图，因为C：＋＝1右焦点为F(1,0)，所以有4>m>0且a＝2，b＝，c＝1，而a2＝b2＋c2，所以4＝m＋1⇒m＝3，因此椭圆上顶点的坐标为(0，)．设直线MN的方程为y＝kx＋t，由(1)可知椭圆的标准方程为＋＝1，直线方程与椭圆方程联立化简得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为D，于是有x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝，所以D点坐标为.因为△BMN的重心恰为点F，所以有＝2，即(1，－)＝2，因此有即由得k＝，所以直线MN斜率为.

17．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．

解：(1)设F(－c,0)(c>0)，由＝，知a＝c.

过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，

解得y＝±，于是＝，解得b＝.

又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，

由方程组消去y，

整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

可得x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为A(－，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)

＝6－2x1x2－2y1y2

＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2

＝6＋.

由已知得6＋＝8，解得k＝±.