人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线当堂达标检测题

第三章　3.2.3

A级——基础过关练

1．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

【答案】C　【解析】点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故这样的直线只有3条．

2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A．－＝1　　 B．－＝1

C．－＝1　　 D．－＝1

【答案】B　【解析】由c＝3，设双曲线方程为－＝1，kAB＝＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①，－＝1②，①－②，得－＝0.又N(－12，－15)为AB中点，所以x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30.所以＝.所以＝＝1.所以a2＝4.所以双曲线方程为－＝1.

3．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)

A． B．

C．2 D．3

【答案】B　【解析】由题意不妨设l：x＝－c，则|AB|＝，又|AB|＝2×2a，故b2＝2a2，所以e＝＝＝.

4．已知直线l：y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支交于点M，OM(O是坐标原点)的垂直平分线经过C的右焦点，则C的离心率为(　　)

A． B．＋1

C． D．

【答案】C　【解析】如图，依题意可得∠MOF＝∠OMF＝30°，OF＝MF＝c，所以M，所以－＝1，结合c2＝a2＋b2，可得9c4－16a2c2＋4a4＝0，所以9e4－16e2＋4＝0，解得e2＝，则e＝.

5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．

【答案】　【解析】由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，因为cos∠F1PF2≥－1，所以cos∠F1PF2＝－e2≥－1，解得e≤，即e的最大值为.

6．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．

【答案】±1　【解析】由消去y得x2－2mx－m2－2＝0，Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)．又因为点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.

7．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围为________．

【答案】　【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.

8．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．

【答案】12　【解析】由已知a＝1，b＝2，c＝3，所以F(3,0)，F′(－3,0)．又A(0,6)，所以|AF|＝＝15，△APF周长l＝|PA|＋|PF|＋|AF|.又|PF|－|PF′|＝2，所以|PF|＝|PF′|＋2，所以l＝|PA|＋|PF′|＋2＋15≥|AF′|＋17＝32，当且仅当A，P，F′三点共线时，△APF周长最小，如图所示．设P(x，y)，直线AF′的方程为＋＝1，联立得消去x得y2＋36y－96＝0，解得y＝－8(舍去)或y＝2，则P(x,2)，所以S△APF＝S△AF′F－S△PF′F＝×6×6－×6×2＝12.

9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且点(4，－)，点M(3，m)都在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；

(2)求证：·＝0.

(1)解：因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等，

所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.

因为双曲线过点(4，－)，

所以16－10＝λ，即λ＝6.

所以双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：设F1(－2，0)，F2(2，0)，

则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．

所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.

因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，

所以·＝0.

10．已知双曲线C：－＝1.

(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；

(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4,0)，求|PA|的最小值．

解：(1)由题可设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，

①当λ>0时，方程为－＝1，

令4λ＝2得λ＝，即双曲线方程为－＝1；

②当λ<0时，方程为－＝1，

令－3λ＝2得λ＝－3，

即双曲线方程为－＝1.

所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

(2)设P(x0，y0)(x0≥2)，满足－＝1，

|PA|＝＝＝＝.

则当x0＝时，|PA|有最小值，为.

B级——能力提升练

11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1 D．－＝1

【答案】D　【解析】不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，所以＝①.又||＝＝4，c2＝a2＋b2，所以a2＋2b2＝16②.由①②可得，a2＝4，b2＝6，所以双曲线C的方程为－＝1.

12．(多选)已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的值可以是(　　)

A．－ B．0

C． D．1

【答案】ABC　【解析】由题意知，F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支有且只有一个交点，画出图形(图略)，通过图形可知直线斜率的取值范围是，故选ABC．

13．已知双曲线C的方程为－＝1(a>0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，则△ABF的面积为________．

【答案】9　【解析】双曲线C的方程为－＝1(a>0)，过原点O的直线l与双曲线C相交于A，B两点，点F为双曲线C的左焦点，且AF⊥BF，设AF＝m，BF＝n，可得m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，可得m2＋n2－2mn＝4a2，可得mn＝c2－a2＝b2＝9.

14．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．

【答案】　【解析】根据题意，得a2＝9，b2＝16，所以c＝＝5，且A(3,0)，F(5,0)．因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，所以直线BF的方程为y＝±(x－5)．①若直线BF的方程为y＝(x－5)，与渐近线y＝－x交于点B，此时S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝；②若直线BF的方程为y＝－(x－5)，与渐近线y＝x交于点B，此时S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝.因此，△AFB的面积为.

15．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．

解：因为直线l过点F2且倾斜角为45°，

所以直线l的方程为y＝x－2.

代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1·x2＝－<0，

所以A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上．

因为x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，

所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝6.

C级——探究创新练

16．若m是2和8的等比中项，则m＝________，圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________．

【答案】±4　或　【解析】因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，解得m＝±4.当m＝4时，曲线x2＋＝1，即x2＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，因为a＝4且b＝1，所以a1＝2，c1＝＝，椭圆的离心率e1＝＝；当m＝－4时，曲线x2＋＝1，即x2－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，同理可得a2＝1，c2＝＝，双曲线的离心率e2＝＝.综上所述，m的值为±4；圆锥曲线x2＋＝1的离心率是或.

17．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B．

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理，得

(k2－2)x2＋2kx＋2＝0①.

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得k的取值范围是－2<k<－.

(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则由①式，得

②

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．

则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，

即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.

整理，得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0③.

把②式及c＝代入③式化简，得5k2＋2k－6＝0.

解得k＝－或k＝(舍去)．

可知k＝－时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.