第三章章末检测

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第三章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(　　)A．2 m B．4 mC．4 m D．12 m【答案】B　【解析】根据题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py，又由当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m，即点(4，－2)和(－4，－2)在抛物线上，则有16＝－2p·(－2)，解可得p＝4，故抛物线的方程为x2＝－8y，若水面下降1 m，即y＝－3，则有x2＝24，解可得x＝±2，此时水面宽度为2－(－2)＝4.2．椭圆＋＝1的离心率是(　　)A．　　 B．　　C．　　　 D． 【答案】B　【解析】因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝3，c＝＝＝.所以e＝＝.3．已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(　　)A．± B．±C．± D．±2【答案】A　【解析】由题可知，不妨设A，B两点的坐标分别为(－c，－kc)，(c，kc)，∵点A，B均在椭圆上，∴＋＝1.又椭圆的离心率为，∴＝，∴＝＝＝.∴＋＝1，解得k＝±.4．已知点Q(－2,0)与抛物线y2＝2px(p＞0)，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点P，若＝3，且直线QA的斜率为1，则p＝(　　)A．2 B．4C．2＋2 D．4【答案】C　【解析】由题意可知A在第一象限，B在第四象限，由＝3，可知：xA＝4xB，则yA＝－2yB，又A，F，B三点共线，可得＝，即＝，可得yAyB＝－p2，∴－y＝－p2，即yA＝p，xA＝p，由QA斜率为1可得：＝1，即＝1，则p＝2＋2..5．如果抛物线y2＝4x的焦点为F，点M为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)．那么的最大值是(　　)A． B．C． D．1【答案】D　【解析】由抛物线的方程可得，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，A(－1,0)点在准线上，作MN⊥准线于点N，由抛物线的性质可得|MF|＝|MN|，所以＝.如图，在△AMN中，＝cos∠MAF，所以当最大时，∠FAM最小，当A，M，F共线时，角最小，所以这时的最大值为1.6．已知直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于不同的两点A和B，F为双曲线C的左焦点，且满足AF⊥BF，则双曲线C的离心率为(　　)A． B．C． D．－1【答案】A　【解析】设双曲线的右焦点为F2，如图，连接AF2，BF2，因为AF⊥BF，结合双曲线的对称性可知四边形AFBF2为矩形，又直线AB的斜率为，tan∠BOF2＝＝，所以tan∠BFF2＝.故在Rt△BFF2中，FF2＝2c，tan∠BFF2＝＝.因此设BF＝3m，BF2＝m，由双曲线的性质得3m－m＝2a，得a＝m，即有9a2＋a2＝4c2，所以离心率e＝＝.7．已知F是双曲线C：x2－y2＝2的一个焦点，点P在C上，过点P作FP的垂线与x轴交于点Q，若△FPQ为等腰直角三角形，则△FPQ的面积为(　　)A． B．  C． D．【答案】A　【解析】如图，取点F为双曲线的右焦点，P在第一象限．∵△FPQ为等腰直角三角形，∴直线PF的方程为：y＝－x＋2.∴可设P(x,2－x)，将其代入双曲线C：x2－(2－x)2＝2，解得x＝，∴P，∴S△FPQ＝×2××＝.8．已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，则＋的取值范围为(　　)A． B．(0,2]C． D．【答案】C　【解析】不妨设点P在右支上，有|PF2|≥1，则＋＝＋≤1＋＝，则＋的取值范围为.故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的值可以是(　　)A．2 B．6C．4 D．8【答案】AC　【解析】设M(x0，y0)，由M在抛物线上，所以y＝2px0，由抛物线的方程可得准线的方程为x＝－，由题意可得x0＋＝3，|y0|＝＝2，解得p＝2或4.10．关于双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝－1，下列说法正确的是(　　)A．它们有相同的渐近线B．它们有相同的顶点C．它们的离心率不相等D．它们的焦距相等【答案】CD　【解析】双曲线C1：－＝1的顶点坐标为(±3,0)，渐近线方程：4x±3y＝0，离心率为，焦距为10.双曲线C2：－＝－1，即－＝1，它的顶点坐标(±4,0)，渐近线方程：3x±4y＝0，离心率为，焦距为10.所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等．11．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是(　　)A．C的渐近线上的点到F距离的最小值为4B．C的离心率为C．C上的点到F距离的最小值为2D．过F的最短的弦长为【答案】AC　【解析】由题意可得2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5，b＝＝4，右焦点F(5,0)，渐近线的方程为4x－3y＝0，所以C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离d＝＝b＝4，所以A正确；离心率e＝＝，所以B不正确；双曲线上，顶点到焦点的距离最小，5－3＝2，所以C正确；过焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长为＝，而斜率为0时，弦长为实轴长2a＝6＜，所以最短的弦长为6，故D不正确．12．已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：(x＋1)2＋y2＝上的动点，则(　　)A．C的焦距为B．C的离心率为C．圆D在C的内部D．|PQ|的最小值为【答案】BC　【解析】由椭圆方程可得，a2＝6，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝5，所以焦距2c＝2，A不正确；离心率e＝＝＝，所以B正确；C中，整理可得＋2x＋＝0，Δ＝22－4××＜0，所以两个曲线无交点，所以圆D在椭圆的内部，所以C正确；由题意可得|PQ|的最小值为|PQ|＝－＝－＝－≥－＝，所以最小值为，所以D不正确．故选BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线C：－＝1，则C的焦点到其渐近线的距离是________．【答案】　【解析】双曲线C：－＝1，则c2＝a2＋b2＝6＋3＝9，则c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则点(3,0)到渐近线的距离d＝＝.14．在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．【答案】　【解析】双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，可得＝，所以a＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝.15．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________. 【答案】4　8　【解析】由＋＝1知a＝5，b＝4，所以c＝3，即F1(－3,0)，F2(3,0)，所以|PF2|＝|F1F2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF1|＝10－6＝4，于是S△PF1F2＝·|PF1|·h＝×4×＝8.16．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.【答案】　【解析】由题意可得抛物线焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝(x－1)，代入y2＝4x并化简得3x2－10x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，∴由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在平面直角坐标系Oxy中，求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)求长轴长为4，焦距为2的椭圆的标准方程；(2)求以A(－3,0)为一个焦点，实轴长为2的双曲线的标准方程．解：(1)根据题意，要求椭圆的长轴长为4，焦距为2，即2a＝4,2c＝2，则a＝2，c＝1，则b＝＝.若要求椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1，若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1，故要求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)要求双曲线以A(－3,0)为一个焦点，实轴长为2，则其焦点在x轴上，即c＝3,2a＝2，则a＝，b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1.18．(12分)已知F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E交于点B，C．(1)若△ABC为直角三角形，求半径R的值；(2)在(1)的条件下，判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．解：(1)由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线，xB＝，代入抛物线的方程可得yB＝p，所以圆的半径R＝p.(2)直线AB与抛物线E相切．由(1)知A，|AF|＝p，B，C，则直线AB：y＝x＋，联立整理得x2－px＋＝0，所以Δ＝p2－p2＝0，所以直线AB与抛物线相切．19．(12分)已知双曲线C的离心率为，且过(，0)点，过双曲线C的右焦点F2，作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求△AOB的面积．解：(1)由题意可得，双曲线的焦点在x轴上，且a＝，＝，b2＝c2－a2，解得a2＝3，b2＝6，所以双曲线的方程为－＝1.(2)由(1)可得F2(3,0)，F1(－3,0)，由题意设y＝(x－3)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与双曲线的方程整理可得x2－18x＋33＝0，x1＋x2＝18，x1x2＝33，所以SAOB＝|OF2|·|y1－y2|＝×3××＝·＝36，即△AOB的面积为36.20．(12分)(2021年汉中模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1,0)，过点M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．解：(1)由已知可得，|PN|＝|PM|，即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线．∴曲线C的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，∴x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，即D.∵直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，∴|DE|2＝6，且DE⊥l2，从而2＋2＝6，kDE·k＝－1，即整理可得2＝2，即k＝±，∴m＝0，故直线l2的方程为x－y＝0或x＋y＝0.21．(12分)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－2,2)，B(2,2)，直线AD，BD交于点D，且它们的斜率满足：kAD－kBD＝－2.(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点(0,2)的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝－1于点M，N，是否存在常数λ，使S△OPQ＝λS△OMN，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)设D(x，y)，由A(－2,2)，B(2,2)，得kAD＝，kBD＝，∵kAD－kBD＝－2，∴－＝－2，整理得x2＝2y(x≠±2)．(2)存在常数λ＝4，使S△OPQ＝λS△OMN.证明如下：由题意，直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立得x2－2kx－4＝0.则x1＋x2＝2k，x1x2＝－4.|x1－x2|＝＝＝2.则S△OPQ＝×2×|x1－x2|＝2.直线OP：y＝x，取y＝－1，得xM＝－，直线OQ：y＝x，取y＝－1，得xN＝－.则|xM－xN|＝＝＝＝＝＝.∴S△OMN＝×1×|xM－xN|＝.∴S△OPQ＝4S△OMN.故存在常数λ＝4，使S△OPQ＝λS△OMN.22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为M(2,0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点Q为左顶点，过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当•取得最大值时，求直线l的方程．解：(1)由题意可得a＝2，＝，得c＝，则b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(－2,0)，B(2,0)，此时·＝0；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0，显然Δ＞0，y1＋y2＝，y1·y2＝，所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝(t2＋1)＋3t＋9＝＋9＝＋9＝，当t＝0时，·取最大值，最大值为.此时直线l方程为x＝1.