人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时达标测试

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4.2　等差数列4.2.1　等差数列的概念第1课时　等差数列的概念及通项公式课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021河南郑州高二期末)2 020是数列2,4,6,8,…的 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.第1 008项 B.第1 009项C.第1 010项 D.第2 020项答案C解析数列2,4,6,8,…为等差数列,设等差数列为{an},则其首项为2,公差为2,通项公式为an=2+(n-1)×2=2n,令2n=2 020,得n=1 010.故选C.2.(2021陕西宝鸡高二期末)在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,则a10=(　　)A.25 B.28C.31 D.34答案B解析设公差为d,因为在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,所以a10=a1+9d=28.3.在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=(　　)A.50 B.49C.48 D.47答案A解析设等差数列{an}的公差为d,∵a1=,a4+a5=,∴2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)×,则ak==33,解得k=50.4.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为 (　　)A. B.-C.- D.-1答案B解析设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,解得d=-,因此新等差数列的公差为-.5.(多选)等差数列20,17,14,11,…中的负数项可以是 (　　)A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第10项答案BCD解析易知该数列的首项a1=20,公差d=-3,∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,∴a7=2>0,a8=-1<0.故数列中的负数项是第8项及其之后的项,故选BCD.6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=　　　　　. 答案-4解析设等差数列{an}的公差为d,由题意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,解得a1=-10,d=3,∴a3=a1+2d=-10+6=-4.7.已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=　　　　　. 答案解析∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=,b=.∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,∴2×.∴lg m=(lg 2+lg 3)=lg 6=lg .则m=.8.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z,而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.9.已知数列{an},a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明因为an+1=2an+2n,所以+1,所以=1,n∈N*.又因为bn=,所以bn+1-bn=1.所以数列{bn}是等差数列,其首项b1=a1=1,公差为1.(2)解由(1)知bn=1+(n-1)×1=n,所以an=2n-1bn=n·2n-1.关键能力提升练10.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是(　　)A.a6 B.a8C.a10 D.a12答案A解析设等差数列{an}的公差为d.∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.11.已知等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则等于 (　　)A. B.C. D.答案C解析依题意,得解得.12.(2021安徽滁州高二联考)在数列{an}中,a4=49,+2,则a7=(　　)A.121 B.144C.169 D.196答案C解析由+2得=2,因此数列{}为等差数列,所以+2(n-1),因为a4=49,所以+6=7,解得a1=1,所以an=(2n-1)2,a7=169.13.(多选)(2021山东烟台莱州一中高二月考)数列{an}满足an+1=,a1=1,则下列说法正确的是(　　)A.数列是等差数列 B.数列{an}有最小项C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 D.数列{an}为递减数列答案AD解析因为an+1=,a1=1,所以=2+,即=2,所以是首项为1,公差为2的等差数列,故A正确;=1+2(n-1)=2n-1,则an=,所以an+1-an==-<0,所以数列{an}为递减数列,故D正确,BC错误.故选AD. 14.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….(1)求等差数列{an}的通项公式.(2)135,4b+19(b∈N*)是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?(3)若am,at(m,t∈N*)是数列{an}中的项,则2am+3at是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?解(1)设等差数列{an}的公差为d.依题意,得a1=3,d=7-3=4,故an=3+4(n-1)=4n-1.(2)令an=4n-1=135,解得n=34,故135是数列{an}的第34项.∵4b+19=4(b+5)-1,且b∈N*,∴4b+19是数列{an}的第(b+5)项.(3)∵am,at是数列{an}中的项,∴am=4m-1,at=4t-1,∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.∵2m+3t-1∈N*,∴2am+3at是数列{an}的第(2m+3t-1)项.15.(2021江苏南京第十三中学高二期末)已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2).(1)求a2,a3;(2)证明数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式.(1)解因为数列{an}满足(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),所以将n=1代入得3a1=2a2-12.又a1=2,所以a2=9.将n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.(2)证明将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2),可得,化简得=2.所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.所以=1+2(n-1)=2n-1,从而an=(n+1)(2n-1)=2n2+n-1.学科素养创新练16.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)不存在.理由如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.这与{an}为等差数列矛盾,所以不存在λ使{an}是等差数列.