高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法同步测试题，共8页。试卷主要包含了用数学归纳法证明等内容，欢迎下载使用。
4.4*　数学归纳法课后篇巩固提升必备知识基础练　　 　　　　　　　　　　　　　　1.利用数学归纳法证明不等式1++…+<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了(　　)A.1项 B.k项C.2k-1项 D.2k项答案D解析当n=k时,不等式左边的最后一项为,而当n=k+1时,最后一项为,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.2.(2021上海交大附中高一下入学检测)用数学归纳法证明“对任意偶数n,an-bn能被a-b整除”时,其第二步论证应该是(　　)A.假设n=k(k为正整数)时命题成立,再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k(k为正整数)时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k(k为正整数)时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立D.假设n=2k(k为正整数)时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立答案D解析根据证明的结论,n为正偶数,故第二步的假设应写成:假设n=2k,k∈N*时命题正确,即当n=2k,k∈N*时,a2k-b2k能被a-b整除,再推证n=2k+2时正确.故选D.3.(2021上海黄浦高二期末)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=(　　)A.f(k)+[2(2k+1)] B.f(k)·[2(2k+1)]C.f(k)+ D.f(k)·答案B解析由数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].4.(多选)对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当n=1时,≤1+1,不等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则n=k+1时,=(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,关于上述证明过程的说法正确的是(　　)A.证明过程全都正确B.当n=1时的验证正确C.归纳假设正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案BCD解析n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.5.(多选)一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是(　　)A.该命题对于n=6时命题成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都不对答案AB解析由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.6.用数学归纳法证明1-+…++…+时,第一步应验证的等式是　　　　　;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是　　　　　　　　　　. 答案1-解析当n=1时,应当验证的第一个式子是1-,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是.7.用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N*).证明①当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×=1,左边=右边,等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·.则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·(k+1)-=(-1)k·.∴当n=k+1时,等式也成立,根据①②可知,对于任何n∈N*等式成立.8.(2021陕西西安铁路一中高二期末)在数列{an}中,a1=,an+1=.(1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.(1)解由a1=,an+1=,得a2=,a3=.猜想an=.(2)证明①当n=1时,a1=,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=,那么,当n=k+1时,ak+1=,结论成立.由①和②可知对任意n∈N*,都有an=成立.关键能力提升练9.(2021江西赣州高二期末)用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边(　　)A.增加了 B.增加了 C.增加了 D.增加了答案D解析当n=k时,+…+,当n=k+1时,+…+,左边增加了.10.设Sk=+…+,则Sk+1为 (　　)A.Sk+ B.Sk+C.Sk+ D.Sk+答案C解析由Sk=+…+, ①得Sk+1=+…+. ②由②-①,得Sk+1-Sk=.故Sk+1=Sk+.11.用数学归纳法证明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(　　)A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2kC.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k答案A解析假设当n=k时命题成立,即5k-2k能被3整除.当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.故选A. 12.(多选)用数学归纳法证明对任意n≥λ(n,λ∈N*)都成立,则以下满足条件的λ的值为 (　　)A.1 B.2C.3 D.4答案CD解析取n=1,则不成立;取n=2,则不成立;取n=3,则成立;取n=4,则成立.猜想当n≥3时,(n∈N*)成立.证明:当n=3时,成立.设当n=k(k≥3,k∈N*)时,有成立,则当n=k+1时,有,令t=,则=3-,因为t>,故>3-,因为>0,所以,所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知对任意的n≥3都成立.故选CD.13.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+　　　　　. 答案π解析由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.14.是否存在a,b,c使等式+…+对一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.解取n=1,2,3可得解得a=,b=,c=.下面用数学归纳法证明+…+.即证12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1),①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即12+22+…+k2=k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3),故当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②当n∈N*等式成立,故存在a=,b=,c=使已知等式成立.15.用数学归纳法证明:×…×(n∈N*).证明①∵当n=1时,=-<0,∴,∴,即当n=1时,不等式成立.②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即×…×,则当n=k+1时,×…×.∵2-2=<0,∴2<2,∴,即当n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可知,对于任意n∈N*,×…×成立.16.已知数列{fn(x)}满足f1(x)=(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).(1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式;(2)用数学归纳法证明猜想.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=,f3(x)=f1[f2(x)]= .猜想:fn(x)=(n∈N*).(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=(n∈N*),①当n=1时,f1(x)=,显然成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=,则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=,即对n=k+1时,猜想也成立.结合①②可知,猜想fn(x)=对一切n∈N*都成立.学科素养创新练17.已知数列{an}满足a1=2,an+1=-nan+1(n∈N*).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想出{an}的一个通项公式并用数学归纳法证明;(2)用数学归纳法证明:当n>1时,+…+.(1)解由a1=2,得a2=-a1+1=3;由a2=3,得a3=-2a2+1=4;由a3=4,得a4=-3a3+1=5;由此猜想an的一个通项公式为an=n+1.下面证明an=n+1.当n=1时,a2=2=1+1,成立.假设当n=k(k≥2)时成立.即ak=k+1,那么当n=k+1时,ak+1=-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2=(k+1)+1,即当n=k+1时也成立.所以an=n+1.(2)证明①当n=2时,=1,不等式成立,②假设当n=k(k∈N*,k≥2)时结论成立,即+…+,当n=k+1时,+…+,而<0,所以+…+,即n=k+1时,结论也成立.由①②可知,当n>1时,+…+.