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    第五章综合测评

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    第五章综合测评

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    这是一份第五章综合测评,共8页。
    第五章综合测评
    (时间:120分钟 满分:150分)
    一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
                     
    1.已知函数f(x)=(2x-1)3,则f'(1)=(  )
    A.8 B.6 C.3 D.1
    答案B
    解析根据题意,函数f(x)=(2x-1)3,则f'(x)=6(2x-1)2,则f'(1)=6×(2-1)2=6.故选B.
    2.若f'(x)=1x2,则函数f(x)可以是(  )
    A.x-1x B.1x C.13x-3 D.ln x
    答案A
    解析x-1x'=(x-1)'x-(x-1)x'x2=1x2,1x'=-1x2,13x-3'=-x-4,(ln x)'=1x.故满足f'(x)=1x2的f(x)可以是f(x)=x-1x.故选A.
    3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(  )
    A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
    答案D
    解析f'(x)=(x-2)ex,由f'(x)>0,得x>2,所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞).
    4.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是(  )
    A.2 B.1
    C.0 D.由a确定的
    答案C
    解析∵f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,∴函数f(x)在R上单调递增,无极值.故选C.
    5.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为(  )
    A.-5 B.7 C.10 D.-19
    答案A
    解析∵f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),∴函数f(x)在[-2,-1]上单调递减,∴最大值为f(-2)=2+a=2,∴a=0,函数f(x)在区间[-2,-1]上的最小值为f(-1)=a-5=-5.
    6.

    如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,给出下列结论:
    ①-3是函数y=f(x)的极值点;
    ②-1是函数y=f(x)的最小值点;
    ③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
    ④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.
    则正确结论的序号是(  )
    A.①② B.②③ C.③④ D.①④
    答案D
    解析由导函数y=f'(x)的图象可知,当x0,f(x)单调递增,故x=-3是函数y=f(x)的极小值点,也是最小值点,故①④正确,②③错误.故选D.
    7.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(  )
    A.e B.-e C.1e D.-1e
    答案C
    解析设切点坐标为(a,ln a),∵y=ln x,∴y'=1x,切线的斜率是1a,切线的方程为y-ln a=1a(x-a),将(0,0)代入可得ln a=1,∴a=e,∴切线的斜率是1a=1e.故选C.
    8.已知函数g(x)的图象关于y轴对称,当x∈(-∞,0)时,g'(x)0的解集为(  )
    A.(3,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞)
    C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
    答案A
    解析因为函数g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶函数,则g(-2)=g(2)=0.因为当x∈(-∞,0)时,g'(x)0,可得切线的斜率k>-3,由tan α>-3,可得0≤α0).
    令f'(x)=0,则x=-m,
    当x>-m时,f'(x)>0,当00,
    由于a>0,∴f(x)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(a,+∞).
    (2)由题意得,f(1)=a-1≥e-1,
    即a≥e,
    结合(1)知f(x)在[1,e]上单调递增,
    要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立,
    只要f(1)=a-1≥e-1,f(e)=a2-e2+ae≤e2,
    解得a=e.
    20.(本小题满分12分)甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/时,已知该汽车每小时的运输成本P(单位:元)关于速度v(单位:千米/时)的函数关系是P=119 200v4-1160v3+15v.
    (1)求全程运输成本Q(单位:元)关于速度v的函数关系式.
    (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.
    解(1)Q=P·400v=119 200v4-1160v3+15v·400v=119 200v3-1160v2+15·400
    =v348−52v2+6 000(00,得x>-1;由f'(x)0,解得x>1,令f'(x)

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