第五章综合训练

这是一份第五章综合训练，共9页。
第五章综合训练
一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021江西景德镇高二期末)若f(x)=ln x+x3,则limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx=(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
答案D
解析由题意f'(x)=1x+3x2,所以f'(1)=1+3=4,所以limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx=2limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)2Δx=2f'(1)=8.故选D.
2.(2021河南九师联盟高二联考)已知函数f(x)=2x+3f'(0)·ex,则f'(1)=(　　)
A.32e B.3-2e C.2-3e D.2+3e
答案C
解析因为f'(x)=2+3f'(0)·ex,所以f'(0)=2+3f'(0),所以f'(0)=-1,所以f'(x)=2-3ex,所以f'(1)=2-3e.故选C.
3.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(　　)
A.(1,0) B.(2,8)
C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4)
答案C
解析依题意令f'(x)=3x2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C.
4.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
答案A
解析函数定义域为(0,+∞),且f'(x)=6x+1x-2=6x2-2x+1x,令6x2-2x+1=0,则Δ=-200时,函数f(x)的极值点为x=1a,若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,必有11,
所以h'(x)>0,所以h(x)在R上是增函数.
因为h(-1)=-f(-1)+11>0,故①正确.
因为h(1)=f(1)-1>h(0)=0,
所以f(1)>1,故②错误.
因为h(-2)=-2f(-2)+2f(-1)+1>f(-1),故③正确.
因为h(1)=f(1)-1>h12=12f12-12,
所以2f(1)>f12+1>f12,故④正确.故选B.
8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)=1+x,且f(1)=2,不等式f(x)≥(a+1)x+1有解,则正实数a的取值范围是(　　)
A.(0,e]　　B.(0,e)　　C.0,1e　　D.0,1e
答案C
解析因为f'(x)=1+1x,故f(x)=x+ln x+C,其中C为常数.因f(1)=2,所以C=1,即f(x)=x+ln x+1.
不等式f(x)≥(a+1)x+1有解可化为
x+ln x+1≥(a+1)x+1,即lnxx≥a在(0,+∞)上有解.
令g(x)=lnxx,则g'(x)=1-lnxx2,
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)0;当00,解得x>-a,令f'(x)0,令f'(x)=0,得x=14a,故f(x)在0,14a上单调递增,在14a,+∞上单调递减.
所以f(x)max=f14a=ln14a-1.
只需证明ln14a-1≤14a-2.
令t=14a>0,即证ln t-t+1≤0(*),由(1)易知(*)式成立,故原不等式成立.
21.(2020安徽高二期末)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解(1)∵蓄水池的侧面的建造成本为200πrh元,底面的建造成本为160πr2元,
∴蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元,
即200πrh+160πr2=12 000π,
∴h=15r(300-4r2),
∴V(r)=πr2h=πr2×15r(300-4r2)=π5(300r-4r3),
又由r>0,h>0可得00;
(2)若关于x的不等式lnxx0.
∴f(x)在(1,+∞)内单调递增,∴f(x)>f(1)=0,得证.
(2)解设h(x)=lnxx-a(x-1),x∈(1,+∞),
则h'(x)=1-lnxx2-a=1-lnx-ax2x2,
当a≥1时,1-ax20,∴h'(x)