高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列同步达标检测题

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1．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{aeq \\al(2,n)}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lg an}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
2．等比数列{an}中，a3＝6，a4＝18，则a1＋a2＝( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(8,3)
3．在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4 B．4
C．－2 D．－4
4．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
5．若a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则eq \f(2a2＋a3,2a4＋a5)＝________.
6．已知数列{an}为等比数列，an>0，a1＝2,2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
[提能力]
7．(多选题)已知数列{an}，下列选项不正确的是( )
A．若aeq \\al(2,n)＝4n，n∈N*，则{an}为等比数列
B．若anan＋2＝aeq \\al(2,n＋1)，n∈N*，则{an}为等比数列
C．若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D．若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
8．已知a,1，b成等差数列，a2,1，b2成等比数列，则eq \f(a＋b,a2＋b2)＝________.
9．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*且n≥2)．
(1)求a2，a3，并证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[战疑难]
10．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt,2，并记an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
课时作业(七) 等比数列的概念和通项公式
1．解析：利用等比数列的定义验证即可，故选A.
答案：A
2．解析：由题意知q＝eq \f(a4,a3)＝3，∴a2＝eq \f(a3,3)＝2，a1＝eq \f(a2,3)＝eq \f(2,3)，∴a1＋a2＝2＋eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，故选D.
答案：D
3．解析：由题意得a4＝a1q3＝eq \f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq \f(1,8)×27＝16.
∴a4与a8的等比中项为a6＝4.故选B.
答案：B
4．解析：由a1＋a3＋a5＝21得a1(1＋q2＋q4)＝21，∴1＋q2＋q4＝7，∴q2＝2，∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，选B.
答案：B
5．解析：eq \f(2a2＋a3,2a4＋a5)＝eq \f(2a2＋a3,2a2q2＋a3q2)＝eq \f(2a2＋a3,q22a2＋a3)＝eq \f(1,q2)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
6．解析：(1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，∴4q＋2q2＝30，即q2＋2q－15＝0，
解得q＝3或－5
∵an>0，∴q＝3，∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6
又bn＋1＝bn＋an
∴bn＋1＝bn＋2·3n－1
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
7．解析：由aeq \\al(2,n)＝4n知|an|＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于B，D选项，满足条件的数列中可以存在零项，同样，数列{an}不一定是等比数列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得eq \f(an＋1,an)＝2(n∈N＋)，故数列{an}是等比数列．故选ABD.
答案：ABD
8．解析：∵a,1，b成等差数列，∴a＋b＝2.
又∵a2,1，b2成等比数列，
∴a2b2＝1，∴ab＝±1，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4±2，
∴eq \f(a＋b,a2＋b2)＝1或eq \f(a＋b,a2＋b2)＝eq \f(1,3).
答案：1或eq \f(1,3)
9．解析：(1)∵a1＝－1，an＝3an－1－2n＋3，
∴a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
∵eq \f(an＋1－n＋1,an－n)
＝eq \f(3an－2n＋1＋3－n＋1,an－n)＝eq \f(3an－3n,an－n)
＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，
∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，
∴an＝n－2×3n－1.
10．解析：an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，
所以an＋1＝lg2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]
＝lg2(12·xeq \\al(3,1)·xeq \\al(3,2)·xeq \\al(3,3)·…·xeq \\al(3,t)·22)＝3an－1，
所以an＋1－eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,2)))，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,2)))是一个以eq \f(3,2)为首项，以3为公比的等比数列，
所以an－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)×3n－1，所以an＝eq \f(3n＋1,2).
答案：an＝eq \f(3n＋1,2)