高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列课后测评

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1．(多选题)下列命题中正确的是( )
A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列{2n＋1}是等差数列
2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于( )
A．45 B．41
C．39 D．37
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
4．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )
A．21 B．22
C．23 D．24
5．已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为________．
6．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
[提能力]
7．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(eq \r(an)， eq \r(an－1))在直线x－y－eq \r(3)＝0上，则( )
A．an＝3n B．an＝eq \r(3)n
C．an＝n－eq \r(3) D．an＝3n2
8．等差数列{an}中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．
9．已知函数f(x)＝eq \f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．
(1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是等差数列；
(2)当x1＝eq \f(1,2)时，求x2 020.
[战疑难]
10．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
课时作业(三) 等差数列的概念和通项公式
1．解析：A中的公差为－2，A错误；B、C、D均正确．
答案：BCD
2．解析：设公差为d，则d＝eq \f(a6－a2,6－2)＝eq \f(17－5,4)＝3，∴a1＝a2－d＝2，∴a14＝a1＋13d＝2＋13×3＝41.故选B.
答案：B
3．解析：∵an＋1－an＝eq \f(1,2)，
∴数列{an}是首项为2，公差为eq \f(1,2)的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)·eq \f(1,2)＝2＋eq \f(n－1,2)，
∴a101＝2＋eq \f(101－1,2)＝52.故选D.
答案：D
4．解析：公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0,an＋1<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(88－4n≥0,88－4n＋1<0))⇒21答案：B
5．解析：eq \f(a＋b,2)＝eq \f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq \f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
6．解析：由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450≤an≤600，
解得85.5≤n≤123，又因为n为正整数，故有38项．
7．解析：∵点(eq \r(an)， eq \r(an－1))在直线x－y－eq \r(3)＝0上，
∴eq \r(an)－eq \r(an－1)＝eq \r(3)，即数列{eq \r(an)}是首项为eq \r(3)，公差为eq \r(3)的等差数列．
∴数列{eq \r(an)}的通项公式为eq \r(an)＝eq \r(3)＋(n－1)eq \r(3)＝eq \r(3)n，
∴an＝3n2.故选D.
答案：D
8．解析：由题意可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a7＝a1＋6 d>0,a8＝a1＋7 d<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(33＋6 d>0,33＋7 d<0，))
解得－eq \f(33,6)又∵d∈Z，∴d＝－5，
∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n(n∈N*)．
答案：an＝38－5n
9．解析：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝eq \f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N*)，
∴eq \f(1,xn)＝eq \f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,xn－1)，
∴eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,3)(n≥2且n∈N*)，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是等差数列．
(2)由(1)知eq \f(1,xn)＝eq \f(1,x1)＋(n－1)×eq \f(1,3)
＝2＋eq \f(n－1,3)＝eq \f(n＋5,3)
∴eq \f(1,x2 020)＝eq \f(2 020＋5,3)＝eq \f(2 025,3).
∴x2 020＝eq \f(3,2 025).
10．解析：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不可能为等差数列，
证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差数列．