高中4.3 等比数列达标测试

这是一份高中4.3 等比数列达标测试，共6页。

1．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋t，则t＋a3的值为( )
A．1 B．－1
C．17 D．18
2．等差数列{an}公差不为零，首项a1＝1，a1，a2，a5成等比数列，则数列{an}的前10项和是( )
A．90 B．100
C．145 D．190
3．《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰、日取其半，万世不竭”如果经过n天，该木锤剩余的长度为an(尺)，则an与n的关系为( )
A．an＝1－eq \f(1,2n－1) B．an＝eq \f(1,2n－1)
C．an＝eq \f(1,2n) D．an＝1－eq \f(1,2n)
4．(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列，则下列说法正确的是( )
A．a1>0 B．q>0
C.eq \f(a3,a2)＝3或－1 D.eq \f(a6,a4)＝9
5．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34 685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读了________字．
6．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式．
(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
[提能力]
7. (多选题)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( )
A．此人第三天走了四十八里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的eq \f(1,4)
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，其中a2＝2，a5＝16，则eq \f(S2n＋Sn＋66,2n)的最小值是________．
9．在①q·d＝1，②a2＋b3＝0，③S2＝T2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
若Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，Tn是公比为q的等比数列{bn}的前n项和，________，a1＝1，S5＝25，a2＝b2，是否存在正数λ，使得λ|Tn|<12?
[战疑难]
10．(多选题)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的下列函数，其中是“保等比数列函数”的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝eq \r(|x|) D．f(x)＝ln|x|
课时作业(十) 等比数列前n项和公式
1．解析：由题意可得a1＝S1＝3＋t，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，
由等比数列得36＝(3＋t)·18.
解得t＝－1.
∴t＋a3＝－1＋18＝17.
故选C.
答案：C
2．解析：设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，
因为a1，a2，a5成等比数列，
所以aeq \\al(2,2)＝a1a5，
又因为首项a1＝1，
所以(1＋d)2＝1×(1＋4d)，即d(d－2)＝0，
因为d≠0，所以d＝2，
所以S10＝10×1＋eq \f(10×9,2)×2＝100.故选B.
答案：B
3．解析：由题得每天取的木锤组成一个等比数列，
所以an＝1－eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n.
故选C.
答案：C
4．解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a3))＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q.因为数列{an}的各项均为正数，所以a1>0，且q>0，故A，B正确；由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，所以eq \f( a3,a2)＝eq \f(a1q2,a1q)＝q＝3，eq \f(a6,a4)＝eq \f(a1q5,a1q3)＝q2＝9，故C错误，D正确，故选ABD.
答案：ABD
5．解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为eq \f(a1－23,1－2)＝7a＝34 685，解得a＝4 955，则2a＝9 910，即该君第二日读的字数为9 910.
答案：9 910
6．解析：(1)设等差数列{an}公差为d，因为a2＋a4＝2a3＝10，所以a3＝5＝1＋2d，所以d＝2.所以an＝2n－1.
(2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒qq3＝9，所以q2＝3，
所以{b2n－1}是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝eq \f(1·1－3n,1－3)＝eq \f(3n－1,2).
7．解析：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝eq \f(1,2)的等比数列．
所以S6＝eq \f(a11－q6,1－q)＝eq \f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192.
a3＝a1q2＝192×eq \f(1,4)＝48，所以A正确．
由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正确．
a2＝a1q＝192×eq \f(1,2)＝96，而eq \f(1,4)S6＝94.6<96，所以C不正确．
a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×(1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4))＝336，则后3天走的路程为378－336＝42
而且42×8＝336，所以D正确．
故选ABD.
答案：ABD
8．解析：由a2＝2，a5＝16易得公比q＝eq \r(3,\f(a5,a2))＝2.故a1＝eq \f(a2,q)＝1.
故Sn＝eq \f(11－2n,1－2)＝2n－1.S2n＝22n－1.
故eq \f(S2n＋Sn＋66,2n)＝eq \f(22n－1＋2n－1＋66,2n)＝2n＋1＋eq \f(64,2n)≥2 eq \r(2n×\f(64,2n))＋1＝17.
当且仅当2n＝eq \f(64,2n)⇒2n＝8，n＝3时等号成立．故eq \f(S2n＋Sn＋66,2n)的最小值是17.
答案：17
9．解析：∵S5＝25＝5a3，∴a3＝5，
∴a2＝eq \f(a1＋a3,2)＝eq \f(1＋5,2)＝3，
∴b2＝a2＝3.
∴d＝a2－a1＝3－1＝2.
若选①，∵q·d＝1，∴q＝eq \f(1,d)＝eq \f(1,2)，
∴b1＝3×2＝6，
∴Tn＝eq \f(6\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n)))，
由λ|Tn|<12得λ≤1，又λ>0，所以λ的取值范围为(0,1]．
若选②，∵a2＋b3＝0，
∴b3＝－a2＝－3，
∴q＝－1，b1＝－3，
∴当n为偶数时，Tn＝0，则λ>0；
当n为奇数时，Tn＝－3，由λ|Tn|<12得λ<4.
综上得λ的取值范围为(0,4)．
若选③，由S2＝T2得b1＝a1＋a2－b2＝1＋3－3＝1.
∴q＝eq \f(b2,b1)＝3.
∴Tn＝eq \f(1－3n,1－3)＝eq \f(3n,2)－eq \f(1,2)，
由指数函数的性质可知Tn无最大值，
∴不存在正数λ，使得λ|Tn|<12.
10．解析：设数列{an}的公比为q(q≠0)．对于A，eq \f(fan＋1,fan)＝eq \f(a\\al(2,n＋1),a\\al(2,n))＝q2，是常数，故A符合“保等比数列函数”的定义；
对于B，eq \f(fan＋1,fan)＝eq \f(2an＋1,2an)＝2，显然当公比q≠1时，上式不是常数，故B不符合“保等比数列函数”的定义；
对于C，eq \f(fan＋1,fan)＝eq \f(\r(|an＋1|),\r(|an|))＝eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,an))))＝eq \r(|q|)，是常数，故C符合“保等比数列函数”的定义；
对于D，eq \f(fan＋1,fan)＝eq \f(ln|an＋1|,ln|an|)，显然当公比q≠±1时，上式不是常数，故D不符合“保等比数列函数”的定义．
故选AC.
答案：AC