高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学演示课件ppt

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1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.(逻辑推理)2.会利用数列的前n项和Sn与an的关系求通项公式.(数学运算)
【激趣诱思】知识来源于实践,同时还要应用于生活,用其来解决一些实际问题.观察如图所示的钢管堆放示意图,你能够发现上下层之间的关系吗?我们能否用数列的形式写出上下层之间的关系?这种关系不同于我们学习过的数列的通项公式,而是今天我们要学习的数列的“递推公式”.
一、递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.易错辨析 通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
二、数列的通项公式与前n项和 　　　　　　　　　　　共有n项1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.名师点析 由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段形式表示,即
微思考(1)S1与a1是什么关系?S2呢?提示 由于S1表示数列的前1项的和,因此S1与a1相等,而S2表示数列的前2项的和,因此S2=a1+a2.(2)若数列{an}的前n项和为Sn,则关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是什么?提示 n≥2,n∈N*,而不能只是n∈N*,这是因为当n=1时Sn-1=S0,数列中S0无意义.
分析由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.
方法技巧由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
变式训练 1已知数列{an}满足an=4an-1+3(n>1),且a1=0,则此数列的第5项是(　　)A.15B.255 C.16D.63答案 B解析 因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
方法技巧由递推公式求通项公式常用的两种方法(1)累加法:当an=an-1+f(n),n>1时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.
例3(1)若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n+1-1,求数列{an}的通项公式.
解 (1)∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;当n=1时,a1=S1=3,经验证不符合上式.
变式训练 3(2021江苏南京金陵中学高二月考)数列{an}的前n项和Sn=n(2n-1),若k-l=4(k,l∈N*),则ak-al=(　　)A.4B.8C.16D.32答案 C解析 因为数列{an}的前n项和Sn=n(2n-1),所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(2n-1)-(n-1)[2(n-1)-1]=4n-3,当n=1时,a1=S1=1也符合上式,故an=4n-3.因为k-l=4(k,l∈N*),所以ak-al=4k-3-(4l-3)=4(k-l)=16.
数列的周期性1.周期函数:对于函数f(x),如果存在非零常数T,使得当x取定义域D内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的一个周期.2.周期数列:对于数列{an},如果存在正整数k,使得an+k=an对一切正整数n都成立,则数列{an}称为周期数列,k称为这个数列的周期.
所以数列{an}为周期数列,且周期为4,即an+4=an,且a1a2a3a4=1,而2 021=505×4+1,所以该数列的前2 021项的乘积是a1a2a3a4…a2 021=1505×a1=2.故选C.(2)在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=an-an-1,所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-2,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=1,a8=a7-a6=2,…,所以,数列{an}是周期数列,且周期为6.又2 021=336×6+5,所以a2 021=a5=-2.故选A.答案 (1)C　(2)A
方法技巧数列的周期性问题,关键是求出数列的周期.求解数列的周期一种方法是根据题中所给的前两项以及递推公式,逐项写出数列的前几项,根据数列的项的特征,归纳出数列的周期;另一种方法是结合数列的递推关系式,利用类似函数的周期性推导方法推导函数的周期.如本题(2)中,可结合f(x+1)=f(x)-f(x-1)①,用x+1代替x得到f(x+2)=f(x+1)-f(x)②,由①②可知f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),因此f(x+6)=f(x),从而函数y=f(x)以6为周期.结合数列可知an+1=an-an-1,因此an+2=an+1-an,则an+2=-an-1,an+3=-an,an+6=an,因此数列的周期是6.
2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　　)A.0B.C.2D.5答案 B解析 由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m= .
3.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(　　)A.an=an-1+2(n≥2)B.an=2an-1(n≥2)C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)D.a1=2,an=2an-1(n≥2)答案 C解析 A,B中没有说明第一项,无法递推;D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意.
4.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6=(　　)A.7D.17答案 C解析 ∵a1=1,an-an-1=n-1,∴a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,a6-a5=5,∴a6-a1=1+2+3+4+5,∴a6=16.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3,则a3=　　　. 答案 5解析 由Sn=n2+3可知a3=S3-S2=32+3-(22+3)=5.