人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义课后练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义课后练习题，共5页。
1．曲线y＝2x－eq \f(1,x)在x＝1处的切线的斜率为( )
A．－1 B．1
C．2 D．3
2．已知曲线y＝eq \f(1,2)x2－2上一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，则过点P的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
3．已知曲线y＝x3上过点(2,8)的切线方程为12x－ay－16＝0，则实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
4．已知曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
5．已知函数f(x)＝eq \f(2,x)－ax的图象在点(－1，f(－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．
6．已知曲线C：y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．
[提能力]
7．(多选题)下列说法中不正确的是( )
A．若函数f(x)＝eq \r(x)，则f′(0)＝0
B．曲线y＝x3在点(0,0)处没有切线
C．曲线y＝eq \r(3,x)在点(0,0)处没有切线
D．曲线y＝2x3上一点A(1,2)处的切线斜率为6
8．设点P是曲线y＝x3－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为________．
9．已知曲线C：y＝eq \f(1,t－x)经过点P(2，－1)，求：
(1)曲线在点P处的切线方程．
(2)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．
[战疑难]
10．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．
课时作业(十三) 导数的概念及其几何意义
1．解析：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×1－\f(1,1)))＝2Δx＋1－eq \f(1,1＋Δx)＝2Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)，所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝2＋eq \f(1,1＋Δx)，所以eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,1＋Δx)))＝2＋1＝3，所以f′(1)＝3，即所求切线的斜率为3.
答案：D
2．解析：过点P的切线的斜率为
k＝f′(1)＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \f(\f(1,2)1＋Δx2－2－\f(1,2)×12＋2,Δx)＝1，
设切线的倾斜角为α，则tan α＝1，
因为α∈[0°，180°)，所以α＝45°.
答案：B
3．解析：∵y′|x＝2＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \f(2＋Δx3－8,Δx)
＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0))[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12，
∴eq \f(12,a)＝12，∴a＝1.故选B.
答案：B
4．解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)，
因为Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)
＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx，
eq \f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－3，
所以f′(x)＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) (2x＋Δx－3)＝2x－3.
由f′(x0)＝0，即2x0－3＝0，得x0＝eq \f(3,2)，
代入曲线方程得y0＝－eq \f(9,4)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(9,4))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(9,4)))
5．解析：因为f′(－1)＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(f－1＋Δx－f－1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(\f(2,Δx－1)－aΔx＋a－a＋2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(\f(2,Δx－1)－aΔx＋2,Δx)
＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(－aΔx2＋aΔx＋2Δx,ΔxΔx－1)
＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(－aΔx＋a＋2,Δx－1)＝－(a＋2)＝1，
得a＝－3，所以f(x)＝eq \f(2,x)＋3x，
所以f(－1)＝－5，则所求切线的方程为y＋5＝x＋1，
即x－y－4＝0.
答案：x－y－4＝0
6．解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
所以设切点为P，则P(2,4)．
y′|x＝2＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \f(\f(1,3)2＋Δx3＋\f(4,3)－\f(1,3)×23－\f(4,3),Δx)
＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋2·Δx＋\f(1,3)Δx2))＝4.
所以k＝y′|x＝2＝4.
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
7．解析：f(x)＝eq \r(x)在点x＝0处导数不存在，A不正确；y＝x3在点(0,0)处切线方程为y＝0，B不正确；y＝eq \r(3,x)在点(0,0)处切线方程为x＝0，C不正确；k＝y′|x＝1＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \f(21＋Δx3－2×13,Δx)＝6，D正确．故选ABC.
答案：ABC
8．解析：设P(x0，y0)，因为
f′(x)＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3－\r(3)x＋Δx＋\f(2,3)－x3＋\r(3)x－\f(2,3),Δx)
＝3x2－eq \r(3)，所以切线的斜率k＝3xeq \\al(2,0)－eq \r(3)，
所以tan α＝3xeq \\al(2,0)－eq \r(3)≥－eq \r(3)，
所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π，π)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π，π))
9．解析：(1)将P(2，－1)代入y＝eq \f(1,t－x)中得t＝1，
所以y＝eq \f(1,1－x).
所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(1,1－x＋Δx)－\f(1,1－x),Δx)
＝eq \f(Δx,Δx1－x－Δx1－x)＝eq \f(1,1－x－Δx1－x)，
所以y′＝lieq \(m,\s\d10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1,1－x2)，
所以曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝eq \f(1,1－22)＝1，所以曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.
(2)点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝eq \f(y0,x0)＝eq \f(1,1－x02)，由于y0＝eq \f(1,1－x0)，所以x0＝eq \f(1,2)，所以切点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即y＝4x.
10．解析：因为f′(x)＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
因为g′(x)＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d10(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx,Δx)＝3x2＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b.①
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
代入①式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝3.))