人教A版 (2019)选择性必修第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后复习题

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这是一份人教A版 (2019)选择性必修第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后复习题，共6页。

1．设函数f(x)＝xex＋1，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
2．已知函数f(x)＝2lnx＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝( )
A．－2 B．2
C．0 D．1
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．－1C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2
4．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是__________．
6．设f(x)＝aln x＋eq \f(1,2x)＋eq \f(3,2)x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[提能力]
7．(多选题)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则( )
A．在x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值
B．在x＝1时，函数y＝f(x)取得极值
C．y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零
D．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增
8．已知函数f(x)＝x－sin 2x(x>0)，则函数f(x)的最小的极值点为__________；若将f(x)的极值点从小到大排列，形成的数列记为{an}，则数列{an}的通项公式为________．
9．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠eq \f(2,3)时，求函数f(x)的单调区间与极值．
[战疑难]
10．(多选题)已知函数f(x)＝sin x＋x3－ax，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是奇函数
B．若f(x)是增函数，则a≤1
C．当a＝－3时，函数f(x)恰有两个零点
D．当a＝3时，函数f(x)恰有两个极值点
课时作业(十九) 函数的极值
1．解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)
令f′(x)＝0，得x＝－1，
易知x＝－1是函数f(x)的极小值点，故选D.
答案：D
2．解析：f′(x)＝eq \f(2,x)＋a，
由题意知f′(1)＝2＋a＝0.
解得a＝－2
故f(x)＝2ln x－2x，
f′(x)＝eq \f(2,x)－2，令f′(x)>0得0令f′(x)<0，得x>1，故f′(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x＝1是极大值点，符合题意，故选A.
答案：A
3．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)
由题意知3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的实数根
所以Δ＝4a2－4×3×(a＋6)>0
解得a<－3或a>6.
故选C.
答案：C
4．解析：令y＝f(x)＝xex
则f′(x)＝(1＋x)ex
令f′(x)＝0得x＝－1
此时f(－1)＝－eq \f(1,e)
故函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－eq \f(1,e).
答案：y＝－eq \f(1,e)
5．解析：∵y＝ex＋ax
∴y′＝ex＋a
由题意知方程ex＋a＝0有大于零的解．
∵当x>0时，－ex<－1
∴a＝－ex<－1.
答案：(－∞，－1)
6．解析：(1)因f(x)＝aln x＋eq \f(1,2x)＋eq \f(3,2)x＋1.
故f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(1,2x2)＋eq \f(3,2).
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋eq \f(1,2x)＋eq \f(3,2)x＋1(x>0)，
f′(x)＝－eq \f(1,x)－eq \f(1,2x2)＋eq \f(3,2)＝eq \f(3x2－2x－1,2x2)
＝eq \f(3x＋1x－1,2x2).
令f′(x)＝0，解得x1＝1，
x2＝－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(因x2＝－\f(1,3)不在定义域内，舍去)).
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
7．解析：由图可知，x＝－2是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝－2时，函数f(x)取得极值，选项A正确；
x＝1不是导函数f′(x)的一个变号零点，
故当x＝1时，函数f(x)不能取得极值，选项B错误；
y＝f(x)的图象在x＝0处的切线斜率为f′(x)>0，选项C错误；
当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，此时函数y＝f(x)单调递增，
选项D正确．
答案：AD
8．解析：f′(x)＝1－2cs 2x，令f′(x)＝0，得cs 2x＝eq \f(1,2)，∵x>0，
∴x＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈N或x＝－eq \f(π,6)＋kπ，k∈N*，
显然数列{an}中a1＝eq \f(π,6)，a2＝eq \f(5π,6).
当n为偶数时，an＝eq \f(5π,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)－1))·π＝eq \f(3n－1,6)π；
当n为奇数时，an＝eq \f(π,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,2)－1))·π＝eq \f(3n－2,6)π.
综上所述，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3n－1,6)π，n＝2k,\f(3n－2,6)π，n＝2k－1))(k∈N*)．
答案：eq \f(π,6) an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3n－1,6)π，n＝2k,\f(3n－2,6)π，n＝2k－1))(k∈N*)
9．解析：f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠eq \f(2,3)知－2a≠a－2.
分两种情况讨论：
①若a>eq \f(2,3)，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若aa－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
综上，当a>eq \f(2,3)时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，单调递减区间是(－2a，a－2)，极大值为3ae－2a，极小值为(4－3a)ea－2；当a10．解析：对A，f(x)＝sin x＋x3－ax的定义域为R，且f(－x)＝sin(－x)＋(－x)3＋ax＝－sin x－x3＋ax＝－f(x)．故A正确．
对B，f′(x)＝cs x＋3x2－a，因为f(x)是增函数，故cs x＋3x2－a≥0恒成立．
即a≤cs x＋3x2恒成立，令g(x)＝cs x＋3x2，则g′(x)＝6x－sin x，
因为g″(x)＝6－cs x>0，故g′(x)＝6x－sin x单调递增，
又g′(0)＝0，故当x<0时，g′(x)<0，当x>0时g′(x)>0.
故g(x)＝cs x＋3x2最小值为g(0)＝1.故a≤1，故B正确．
对C，当a＝－3时由B选项知，f(x)是增函数，故不可能有2个零点，故C错误．
对D，当a＝3时f(x)＝sin x＋x3－3x，
f′(x)＝cs x＋3x2－3，令cs x＋3x2－3＝0则有cs x＝3－3x2，作出y＝cs x，y＝3－3x2的图象如图所示，易得有两个交点，且交点左右的函数值大小不同，故函数f(x)恰有两个极值点，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值

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