
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数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算一课一练
展开1.已知函数f(x)=e-x+2·(2x+1)4,则f′(0)=( )
A.e2 B.1
C.7e2 D.9e-2
2.偶函数f(x)=x(ex-ae-x)的图象在x=1处的切线斜率为( )
A.2e B.e
C.2e2 D.eq \f(9,4)e2
3.设a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2),则切点的横坐标为( )
A.-eq \f(ln 2,2) B.-ln 2
C.eq \f(ln 2,2) D.ln 2
4.已知函数f(x)=(x-eq \r(2x-1))e-x(x≥eq \f(1,2)),则f(x)的导函数f′(x)=________.
5.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.
6.设函数f(x)=aexln x+eq \f(bex-1,x).
(1)求导函数f′(x);
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
[提能力]
7.设f0(x)=sin 2x+cs 2x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,f1+n(x)=f′n(x),n∈N,则f2021(x)=( )
A.22021(cs 2x-sin 2x)
B.22021(-cs 2x-sin 2x)
C.22021(cs 2x+sin 2x)
D.22021(-cs 2x+sin 2x)
8.已知直线l是曲线y=ex与曲线y=e2x-2的一条公切线,l与曲线y=e2x-2切于点(a,b),且a是函数f(x)的零点,则f(x)的解析式可能为________.
9.已知函数f(x)=3x+cs 2x+sin 2x,f′(x)是f(x)的导函数,a=f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))),求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.
[战疑难]
10.(多选题)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,eq \f(π,2))上是凸函数的是( )
A.f(x)=sin x+cs x
B.f(x)=ln x-2x
C.f(x)=-x3+2x-1
D.f(x)=-xe-x
课时作业(十六) 简单复合函数的导数
1.解析:∵(e-x+2)′=-e-x+2,
∴f′(x)=-e-x+2·(2x+1)4+8e-x+2(2x+1)3
∴f′(0)=-e2+8e2=7e2,故选C.
答案:C
2.解析:因为函数f(x)为偶函数
所以f(-x)=f(x)
即-x(e-x-aex)=x(ex-ae-x)
解得a=1.
故f(x)=x(ex-e-x)
∴f′(x)=ex-e-x+(ex+e-x)x
∴f′(1)=e-e-1+(e+e-1)=2e,故选A.
答案:A
3.解析:由题可知x∈R,∵函数f(x)=ex+a·e-x,
∴f′(x)=ex-eq \f(a,ex),又∵f′(x)是奇函数,
∴f′(0)=1-a=0,
∴a=1,∴f(x)=ex+eq \f(1,ex),f′(x)=ex-eq \f(1,ex).
∵曲线y=f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2).
∴eq \f(3,2)=ex-eq \f(1,ex),解方程可得x=ln 2.故选D.
答案:D
4.解析:因为(x-eq \r(2x-1))′=1-eq \f(1,\r(2x-1)),(e-x)′=-e-x,所以f′(x)=(1-eq \f(1,\r(2x-1)))e-x-(x-eq \r(2x-1))e-x=eq \f(1-x\r(2x-1)-2e-x,\r(2x-1))=(1-x)(1-eq \f(2,\r(2x-1)))e-x(x>eq \f(1,2)).
答案:(1-x)(1-eq \f(2,\r(2x-1)))e-x(x>eq \f(1,2)).
5.解析:方法一(先求函数解析式) 当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=lnx-3x,所以当x>0时,f′(x)=eq \f(1,x)-3,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线的斜率为f′(1)=-2,所以切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.
方法二(直接利用原函数与导函数的关系) 当x<0时,f′(x)=eq \f(1,x)+3,由f(x)为偶函数,知f′(x)为奇函数,所以f′(1)=-f′(-1)=-2,又切线过点(1,-3),所以所求切线方程为2x+y+1=0.
答案:2x+y+1=0
6.解析:(1)由f(x)=aexln x+eq \f(bex-1,x),
得f′(x)=(aexln x)′+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bex-1,x)))′=aexlnx+eq \f(aex,x)+eq \f(bex-1x-bex-1,x2).
(2)由于切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,
将x=1代入切线方程得y=2,
将x=1代入函数f(x)得f(1)=b,
∴b=2.
将x=1代入导函数f′(x)中,
得f′(1)=ae=e,
∴a=1.
7.解析:∵f0(x)=sin 2x+cs 2x
∴f1(x)=f′0(x)=2(cs 2x-sin 2x)
f2(x)=f′1(x)=22(-sin 2x-cs 2x)
f3(x)=f′2(x)=23(-cs 2x+sin 2x)
f4(x)=f′3(x)=24(sin 2x+cs 2x),通过以上可以看出fn(x)满足以下规律:
对任意n∈N*,fn+4(x)=24fn(x)
故f2021(x)=f505×4+1(x)=22021(cs 2x-sin 2x),故选A.
答案:A
8.解析:由y=ex得y′=ex
由y=e2x-2得y′=2e2x
设公切线在y=ex上的切点坐标为(m,em),
在y=e2x-2上的切点坐标为(a,e2a-2),
由题可得em=2e2a,
整理可得m=2a+ln 2,①
结合斜率公式有2e2a=eq \f(em-e2a+2,m-a),②
将①代入②中整理可得e2a(2a+2ln 2-1)-2=0,又a为函数f(x)的零点,
所以f(x)的解析式可能为f(x)=e2x(2x+2ln 2-1)-2.
答案:f(x)=e2x(2x+2ln 2-1)-2
9.解析:由f(x)=3x+cs 2x+sin 2x,
得f′(x)=3-2sin 2x+2cs 2x,
则a=f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=3-2sin eq \f(π,2)+2cs eq \f(π,2)=1.
由y=x3得y′=3x2.
当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,
又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),
故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
当P点不是切点时,设切点为(x0,xeq \\al(3,0)),此时切线的斜率k′=3xeq \\al(2,0),
∴切线方程为y-xeq \\al(3,0)=3xeq \\al(2,0)(x-x0),
∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,
∴b=1,将P(1,1)代入切线方程中得
1-xeq \\al(3,0)=3xeq \\al(2,0)(1-x0),
∴2xeq \\al(3,0)-3xeq \\al(2,0)+1=0,∴2xeq \\al(3,0)-2xeq \\al(2,0)-xeq \\al(2,0)+1=0,
∴(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-eq \f(1,2)(x0=1舍去),
∴切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),-\f(1,8))),又切线的斜率为3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))2=eq \f(3,4),
∴此时的切线方程为y+eq \f(1,8)=eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(1,2))),
即3x-4y+1=0.
综上,满足题意的切线方程为
3x-y-2=0或3x-4y+1=0.
10.解析:若f(x)=sin x+cs x,则f″(x)=-sin x-cs x,在(0,eq \f(π,2))上恒有f″(x)<0,A正确;若f(x)=ln x-2x,则f″(x)=-eq \f(1,x2),在(0,eq \f(π,2))上恒有f″(x)<0,B正确,若f(x)=-x3+2x-1,则f″(x)=-6x,在(0,eq \f(π,2))上恒有f″(x)<0,C正确;若f(x)=-xe-x,则f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x,在(0,eq \f(π,2))上恒有f″(x)>0,D不正确.
答案:ABC
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