人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时课时作业

第一章　1.4.1 第1课时

A级——基础过关练

1．直线AB的方向向量为＝(3,2,1)，直线CD的方向向量为＝(－6，－4，－2)，则直线AB与直线CD的位置关系是(　　)

A．重合 B．平行

C．平行或重合 D．相交

【答案】C　【解析】由已知得＝－2，则∥，故两直线平行或重合．

2．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A．(1，－1,1) B．

C． D．

【答案】B　【解析】由题意可知符合条件的点P应满足·n＝0，选项A，＝(2，－1,2)－(1，－1,1)＝(1,0,1)，·n＝3×1＋1×0＋2×1＝5≠0，故点P不在平面α内；选项B，＝，·n＝0，故点P在平面α内；选项C，＝，·n＝6≠0，故点P不在平面α内；选项D，＝，·n＝12≠0，故点P不在平面α内．

3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交 B．平行

C．垂直 D．不能确定

【答案】B　【解析】方法一，如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝，所以M，N.所以＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以＝(0，a,0)．所以·＝0.所以⊥.因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C．

方法二，＝＋＋①，

＝＋＋②.

因为A1M＝AN＝a，所以＝，＝.①×2＋②，得3＝2＋，而＝，所以＝＋.故MN∥平面BB1C1C．

4．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是(　　)

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．异面

【答案】A　【解析】设平面α的法向量m＝(x，y，z)，由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，所以m＝(1,1,1)，m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.

5．如图，在正三棱锥S－ABC中，点O是△ABC的中心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．

【答案】　(答案不唯一)　【解析】在正三棱锥S－ABC中，点O是△ABC的中心，所以SO⊥平面ABC，所以BC⊥SO.因为AB＝AC，点D是BC的中点，所以BC⊥AD．又SO∩AD＝O，所以BC⊥平面SAD．所以是平面ABC的一个法向量，是平面SAD的一个法向量．

6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面的方程为________________．

【答案】x＋2y－z－2＝0　【解析】类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.

7．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．

【答案】x＋y＋z＝3　【解析】由题意知，OA⊥α，直线OA的方向向量＝(1,1,1)，因为P∈α，所以⊥，所以(1,1,1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3.

8．给出下列命题：

①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直；

②直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；

③平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β；

④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1，2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1.

其中真命题是________(把你认为正确命题的序号都填上)．

【答案】①④　【解析】对于①，因为a＝(1，－1,2)，b＝，所以a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，所以a⊥b，所以直线l与m垂直，①正确；对于②，a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)，所以a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l⊂α，②错误；对于③，因为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，所以n1与n2不共线，所以α∥β不成立，③错误；对于④，因为点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，所以＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，所以即则u＋t＝1，④正确．综上，真命题的序号是①④.

9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，PA＝2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于点F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD．

解：由题设知在Rt△AFD中，AF＝FD＝，

A(0,0,0)，B(1,0,0)，F，D，

P(0,0,2)，M(0,0,1)，N，

＝，＝，

＝.

设平面PCD的一个法向量n＝(x，y，z)，

即

令z＝，得n＝(0,4，)．

因为·n＝·(0,4，)＝0，

又MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．

10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q点在CC1上，当点Q在CC1的什么位置时，平面APO∥平面BD1Q?

解：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，

则O(1,1,0)，P(0,0,1)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，

D1(0,0,2)．设Q(0,2，z)(0≤z≤2)，

因为＝(－1，－1,1)，

＝(－2，－2,2)，

所以∥.

又因为B∉OP，所以OP∥BD1，所以OP∥平面BD1Q.

又因为＝(－2,0,1)，＝(－2,0，z)，

显然当z＝1时，∥，又因为B∉AP，

所以AP∥BQ，所以AP∥平面BD1Q.

又AP⊂平面APO，OP⊂平面APO，且AP∩OP＝P，

所以平面APO∥平面BD1Q.

所以当Q为CC1的中点时，平面APO∥平面BD1Q.

B级——能力提升练

11．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B　【解析】设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.所以n＝(1，－2,2)．因为|n|＝3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是.

12．(多选)已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－3,1,2)，则直线AB与平面α的位置关系可能为(　　)

A．AB∥α B．AB⊂α

C．AB与α相交 D．AB⊥α

【答案】AB　【解析】因为n·＝(2，－2,4)·(－3,1,2)＝－6－2＋8＝0，所以n⊥，故AB⊂α或AB∥α.

13．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD⊂平面ABC，则实数x的值是________．

【答案】0　【解析】由题意得＝(1,1，x)，＝(1,0,0)，＝(0,1,0)．设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)，则即可取c＝1，故平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)．若AD⊂平面ABC，则·n＝0，所以1×0＋1×0＋x＝0，解得x＝0.

14．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：

①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1；

④A1M∥平面D1PQB1.

这四个结论中正确的为________(填序号)．

【答案】①③④　【解析】因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，即B1Q与A1M不平行，故②不正确．

15．如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．取BD的中点O，以点O为原点，OD，OP所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.求证：PQ∥平面BCD．

证明：由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)，

设C(x0，y0,0)，

因为＝3，所以Q.

因为M为AD的中点，故M(0，，1)．

又因为P为BM的中点，故P.

所以＝.

因为平面BCD的一个法向量u＝(0,0,1)，

故·u＝0.

因为PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD．

C级——探究创新练

16．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m＝______，n＝______.

【答案】－1　2　【解析】c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)．由c为平面α的法向量，得得

17．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB．

证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，

所以N，M，E，F，,所以＝，＝，＝(a，a,0)，＝.

设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，

则所以

所以y1＝－x1＝－2z1.

取z1＝1，得平面AMN的一个法向量m＝(2，－2,1)．

同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2.

令z2＝1，得平面EFDB的一个法向量n＝(2，－2,1)．

因为m＝n，所以m∥n.

所以平面AMN∥平面EFDB．