中考数学二轮专题复习《圆》解答题专项练习八（含答案）

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中考数学二轮专题复习《圆》解答题专项练习八1.如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E，垂足为点F．（1）证明：DE是⊙O的切线；（2）若BE=4，∠E=30°，求由、线段BE和线段DE所围成图形（阴影部分）的面积，（3）若⊙O的半径r=5，sinA=，求线段EF的长．   2.如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上.（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长.     3.如图,已知在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.(1)求证：点D是AB的中点；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(3)若⊙O的直径为18,cosB=,求DE的长．      4.在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．     5.已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．（1）如图 1，求证：KE=GE；（2）如图 2，连接 CABG，若∠ACH=2∠FGB，求证：CA∥FE；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CG 交 AB 于点 N，若 sinE=，AK=，求 CN的长．   6.问题背景：如图①，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.(1)实践运用：如图②，已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为____；(2)知识拓展：如图③，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程.    7.如图：AD是正△ABC的高，O是AD上一点，⊙O经过点D，分别交AB、AC于E、F（1）求∠EDF的度数；（2）若AD=6，求△AEF的周长；（3）设EF、AD相较于N，若AE=3，EF=7，求DN的长．     8.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT.(1)如图1，求证：BT是⊙O的切线；(2)在图1中连接CB，DB，若BC＝2BD，求tan∠T的值；(3)如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT＝6，DT＝6.求：DG的长.
0.参考答案1.解：（1）如图，连接BD.OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∵BA=BC，∴AD=CD，又∵AO=OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为x，则OB=OD=x，在Rt△ODE中，OE=4+x，∠E=30°，∴=，解得：x=4，∴DE=4，S△ODE=×4×4=8，S扇形ODB==，则S阴影=S△ODE﹣S扇形ODB=8﹣；（3）在Rt△ABD中，BD=ABsinA=10×=2，∵DE⊥BC，∴Rt△DFB∽Rt△DCB，∴=，即=，∴BF=2，∵OD∥BC，∴△EFB∽△EDO，∴=，即=，∴EB=，∴EF==．2.解： 3.解：4.解：（1）连接BD，∵B（，0），C（0，3），∴OB=，OC=3，∴tan∠CBO==，∴∠CBO=60°∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠CBO，∴∠DBO=30°，∴tan∠DBO=，∴OD=1，∴△ABC内切圆⊙D的半径为1； （2）连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G，∵E（0，﹣1）∴OE=1，DE=2，∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE=90°，DF=1，∴sin∠DEF=，∴∠DEF=30°，∴∠GDF=60°，∴在Rt△DGF中，∠DFG=30°，∴DG=，由勾股定理可求得：GF=，∴F（，），设直线EF的解析式为：y=kx+b，∴，∴直线EF的解析式为：y=x﹣1； （3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，∴该点必为△ABC外接圆的圆心，由（1）可知：△ABC是等边三角形，∴△ABC外接圆的圆心为点D∴DP=2，设直线EF与x轴交于点H，∴令y=0代入y=x﹣1，∴x=，∴H（，0），∴FH=，当P在x轴上方时，过点P1作P1M⊥x轴于M，由勾股定理可求得：P1F=3，∴P1H=P1F+FH=，∵∠DEF=∠HP1M=30°，∴HM=P1H=，P1M=5，∴OM=2，∴P1（2，5），当P在x轴下方时，过点P2作P2N⊥x轴于点N，由勾股定理可求得：P2F=3，∴P2H=P2F﹣FH=，∴∠DEF=30°∴∠OHE=60°∴sin∠OHE=，∴P2N=4，令y=﹣4代入y=x﹣1，∴x=﹣，∴P2（﹣，﹣4），综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．5.解：（1）证明：连接 OG．∵EF 切⊙O 于 G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD⊥AB 于 H，∴∠AHD=90°，∴∠OAG=∠AKH=90°，∵OA=OG，∴∠AGO=∠OAG，∴∠AGE=∠AKH，∵∠EKG=∠AKH，∴∠EKG=∠AGE，∴KE=GE．（2）设∠FGB=α，∵AB 是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=∠ACH，∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E，∴CA∥FE．（3）作 NP⊥AC 于 P．∵∠ACH=∠E，∴sin∠E=sin∠ACH= =，设 AH=3a，AC=5a， 则 CH=4a，tan∠CAH= =，∵CA∥FE，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=a，tan∠AKH==3，AK=a，∵AK=，∴ a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形 BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC 于 P，∴∠APN=∠CPN=90°，在 Rt△APN 中，tan∠CAH==，设 PN=12b，则 AP=9b，在 Rt△CPN 中，tan∠ACN==3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=， ∴CN= =4 b= ．6.解：(1)如图①，作点B关于CD的对称点E，连结AE交CD于点P，此时PA＋PB最小，且等于AE.作直径AC′，连结C′E.根据垂径定理得.∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=AC′=2.即AP＋BP的最小值是2；①                　②解：(2)如答图②，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′.∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM=∠BAM，AB′=AB，AM=AM，∴△B′AM≌△BAM(SAS)，∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，∴点B与点B′关于直线AD对称.过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求.在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′·sin45°=AB·sin45°=10×=5，∴BE＋EF的最小值为5.7.解：（1）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．∵AD是正△ABC的高，∴∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，∴∠AIO=∠AJO=90°，∴∠IOJ=360°﹣90°﹣90°=60°=120°，OI=OJ，∵OE=OF，∴Rt△OIE≌△Rt△OJF（HL），∴∠IOE=∠JOF，∴∠EOF=∠EOJ+∠FOJ=∠EOJ+∠IOE=∠IOJ=120°，∴∠EDF=∠EOF=60°．（2）如图1中，作DK⊥AB于K，DL⊥AC于L，DM⊥EF于M，连接FG．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠B=60°，BD=CD，∵∠EDF=60°，∴∠EDF=∠B，∵∠EDC=∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，∴∠BED=∠CDF，∵GD是圆O的直径，∴∠ADC=90°，∠GFD=90°，∴∠FGD+∠FDG=90°，∠FDC+∠FDG=90°，∴∠FDC=∠FGD=∠DEF，∵DK⊥EB，DM⊥EF，∴∠EKD=∠EMD=90°，DK=DM，∴Rt△DEK≌Rt△DEM（HL），∴EK=EM，同法可证：DK=DL，∴DM=CL，∵DM⊥FE，DL⊥FC，∴∠FMD=∠FLD=90°，∴Rt△DFM≌Rt△DFL（HL），∴FM=FL，∵AD=AD，DK=DF，∴Rt△ADK≌Rt△ADL（HL），∴AK=AL，∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EK+AF+FL=2AL，∵AD=6，∴AL=AD•cos30°=9，∴△AEF的周长=18．（3）如图3中，作FP⊥AB于P，作EM⊥AC于M，作NQ⊥AB于Q，DL⊥AC于L．在Rt△AEM中，∵AE=3，∠EAM=60°，∴AM=AE=，EM=，在Rt△EFM中，EF===，∴AF=AM+MF=8，∵△AEF的周长=18，由（2）可知2AL=18，∴AJ=9，AD==6，∴AP=AF=4，FP=4，∵NQ∥FP，∵△EQN∽△EPF，∴==，∵∠BAD=30°，∴AQ=√3NQ，设EQ=x，则QN=4x，AQ=12x，∴AE=11x=3，∴x=，∴AN=2NQ=，∴DN=AD﹣AN=．    8.解：(1)证明：CD是⊙O的直径，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，∴CD⊥AF，∠AEO＝90°，∴AO2＝OE•OT，AB是圆的直径，∴，又∠AOE＝∠BOT，∴△AOE∽△TOB，∴∠OBT＝∠AEO＝90°，∴BT是⊙O的切线；(2)CD是圆的直径，∴∠CBD＝90°，又∠OBT＝90°，∴∠CBO＝∠DBT，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∴∠C＝∠DBT，又∠T＝∠T，∴△DBT∽△BCT，∴，设DT＝m(m＞0)，则BT＝2m，CT＝4m，则CD＝3m，OB＝OD＝1.5m，在Rt△OBT中，tanT＝，(3)∵∠OBT＝90°，∴OB2＋BT2＝OT2，设半径为r，又BT＝6，DT＝6，r2＋(6)2＋(r＋6)2，解得：r＝3，∴△AOE∽△TOB，∴，即：，∴OE＝1，AE＝2，∵GP⊥CD于点P，∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠GPO，又∠AOE＝∠GOP，∴△AOE∽△GOP，∴，设：OP＝a，则PG＝2a，PD＝OD﹣OP＝3﹣a，而△PDG∽△EDF，则，即：，解得：a＝，∴PD＝，PG＝，在Rt△PDG中，DG＝＝.