中考数学二轮专题复习《圆》解答题专项练习二（含答案）

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中考数学二轮专题复习《圆》解答题专项练习二1.已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．(1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：　   　；(2)如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；(3)如图③，若BC=5，BD=4，求的值．    2.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．   3.如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．     4.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．  (1)求证：CD是⊙O的切线；  (2)若⊙O的半径为1，∠CBD=30°，则图中阴影部分的面积；  (3)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．        5.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点(不与O，B重合)，过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC=FD．(1)求证：FC是⊙O的切线；(2)当点E是的中点时，①若∠BAC=60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若tan∠ABC=，且AB=20，求DE的长．     6.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE2=CD•OE；（3）若tanC=，DE=，求AD的长．   7.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）试判断DE与⊙O的位置关系并证明；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若tanC=，DE=2，求AD的长．     8.已知,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,过点C作CD⊥AB,垂足为点D,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．（1）如图1,求证:CB平分∠DCE；（2）如图2,点F在⊙O上,连接OC,∠ECF=2∠OCB，求证:CF=2CD；（3）如图3,在（2）的条件下,连接AF,若AF=3,CD=3,求BE的长．
0.参考答案1.解：(1)如图①在AD上截取AE=AB，连接BE，∵∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，∴△BED≌△BAC(SAS)，∴DE=AC，∴AD=AE+DE=AB+AC；故答案为：AB+AC=AD．(2)AB+AC=AD．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD=45°，∴BD=CD，∴△MBD≌△ACD(SAS)，∴MD=AD，∠M=∠CAD=45°，∴MD⊥AD．∴AM=，即AB+BM=，∴AB+AC=；(3)如图③，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴△NBD≌△ACD(SAS)，∴ND=AD，∠N=∠CAD，∴∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，∴=．  2.解：；3.（1）证明：连结OD，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD=CD=6．在Rt△CDF中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，在Rt△AFG中，∵∠A=60°，∴FG=AF×sinA=9×=；（3）解：过D作DH⊥AB于H．∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD=∠GDH．在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=BD=3，DH=BH=3．在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=AF=，∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，∴tan∠GDH===，∴tan∠FGD=tan∠GDH=．4.解：（1）证明：如图所示，连结OD， ∵OB=OD，∴∠OBD=∠BDO，∵∠CDA=∠CBD，∴∠CDA=∠ODB，又AB是⊙O的直径，∵∠ADO+∠ODB=90°，∠ADO+∠CDA=90°即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）阴影部分面积： 5.解：(1)证明：连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD=90°，∴∠OBC+∠BDP=90°，∵FC=FD∴∠FCD=∠FDC∵∠FDC=∠BDP∴∠OCB+∠FCD=90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线．(2)如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∵点E是的中点，∴∠BOE=∠COE=60°，∵OB=OE=OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB=BE=CE=OC∴四边形BOCE是菱形；②若tan∠ABC=，且AB=20，求DE的长．∵=tan∠ABC=，设AC=3k，BC=4k(k＞0)，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即(3k)2+(4k)2=202，解得k=4，∴AC=12，BC=16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH=CH=8，∴OE×BH=OB×PE，即10×8=10PE，解得：PE=8，由勾股定理得OP===6，∴BP=OB﹣OP=10﹣6=4，∵=tan∠ABC=，即DP=BP==3∴DE=PE﹣DP=8﹣3=5．6.解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∵OE∥AC，OA=OB，∴BE=CE，∴DE=BE=CE，∴∠DBE=∠BDE，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODE=∠OBE=90°，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，∴，∴BC2=CD•AC，由（1）知DE=BE=CE=0.5BC，∴4DE2=CD•AC，由（1）知，OE是△ABC是中位线，∴AC=2OE，∴4DE2=CD•2OE，∴2DE2=CD•OE；（3）∵DE=2.5，∴BC=5，在Rt△BCD中，tanC==，设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴BD=4，CD=3，由（2）知，BC2=CD•AC，∴AC==，∴AD=AC﹣CD=﹣3=．7.解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=BE=EC，∴∠EBD=∠EDB，又∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∴∠EDO=∠EBO=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠ACB=∠BCD，∴Rt△ABC∽Rt△BDC，∴=，即BC2=CD•AC，∴BC2=2CD•OE；（3）解：在Rt△BDC中，∵DE=BE=EC，∴BC=2DE=4，∵tanC==，∴设BD=x，CD=2x，∵BD2+CD2=BC2，∴（x）2+（2x）2=42，解得x=±（负值舍去），∴x=，∴BD=x=，在Rt△ABD中，∵∠ABD=∠C，∴tan∠ABD=tan∠C，∴=，∴AD=BD=．8.解：（1）证明：如图（1），             连接OC，∵CE与⊙O相切，OC是半径，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠OCB+∠BCE=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°∴∠DCB+∠DBC=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC∴∠DCB=∠BCE，∴CB平分∠DCE，（2）证明：如图（2），过O作OH⊥CF于H，∵OH过圆心，∴CF=2CH由（1）可知：CB平分∠DCE，∴∠DCE=2∠DCB，∵∠ECF=2∠OCB，∴∠FCD=2∠OCD，∴∠FCO=∠OCD，∵∠CDO=∠CHO=90° OC=OC，∴△CHO≌△CDO∴CH=CD，∴CF=2CD，（3）如图（3），延长CD交⊙O于G，分别连接AG、AC，过C作CM⊥AF于M，过C作CN⊥AG于N．∵CD⊥AB  AB是直径，∴CG=2CD     由（2）可知CF=2CD，∴CG=CF∴∠CAG=∠CAF；∴AC平分∠FAG∵M⊥AF  CN⊥AG，∴CM=CN，∠CMA=∠CNA=90°∴△CMA≌△CNA，∴AM=AN，∵CM=CN  CF=CG，∴Rt△CMF≌Rt△CNG，∴MF=NG，设MF=a  则NG=a，∵AF=3，∴MA=a+3，∴AN=a+3，∴AG=2a+3，∵CD⊥AB CD=GD∴AD垂直平分CG，∴CA=GA=2a+3在Rt△CMA中，CM2=CA2﹣AM2=（2a+3）2﹣（a+3）2在Rt△CMF中，CM2=CF2﹣MF2=（6）2﹣a2∴（2a+3）2﹣（a+3）2=（6）2﹣a2∴a1=﹣（舍），a2=6∴AM=9，AC=AG=15，∴AD==6设⊙O的半径为r，在Rt△CDO中，（6﹣r）2+（3） 2=r2，∴r=，∴OD=，∴cos∠COD==，在Rt△COE中cos∠COD==，∴OE=，∴BE=．