数学必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算课时作业

【特供】4.1.1 实数指数幂及其运算-1课堂练习

一．单项选择

1．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

2．下列一定正确的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．若，则

3．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（        ）

A． B． C． D．

4．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（    ）

A．2 B．

C．－2 D．

6．已知函数，则（    ）

A． B．

C．4 D．4042

7．函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（     ）

A．6 B．-2 C．1 D．4

8．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期？感染者与其他人的接触频率？每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染)

A．4 B．5 C．6 D．7

9．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲．乙．丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（    ）

A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学

C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学

10．若，，，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．记，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

12．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

13．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ）

A． B． C． D．

14．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

15．已知集合，．若有且仅有个元素，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

16．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

17．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆．绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水．雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ）小时.

A． B． C． D．

18．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】分析：首先整理，，即可得出，然后根据即可得出结果.

详解：由题可知，，，

则，

又，

所以，

故选：D.

2．【答案】A

【解析】分析：利用根式与指数幂的互化可判断A选项的正误；解方程，可判断B选项的正误；取．为负数可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.

详解：对于A选项，当时，，A选项正确；

对于B选项，若，则，B选项错误；

对于C选项，取．均为负数且，则．无意义，C选项错误；

对于D选项，取，，则，但，D选项错误.

故选：A.

3．【答案】B

【解析】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为恒成立，利用判别式，从而求得实数的取值范围.

详解：不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.

点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.

4．【答案】D

【解析】利用指数函数的单调性判断即可.

详解：解：是上的增函数，

，而，

故，

故选：D.

【点睛】

本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数性质的合理运用.

5．【答案】A

【解析】根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.

详解：因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点，

因为点在角的终边上，所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查了指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，考查了三角函数的定义，属于基础题.

6．【答案】C

【解析】分析：直接代入解析式化简可得答案.

详解：因为，

所以

.

故选：C

7．【答案】D

【解析】分析：令，求得，由点A在双曲线上，得到，然后由“1”的代换，利用基本不等式求解.

详解：令，解得，

所以，

因为点A在双曲线上，

所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以m-n的最大值为4

故选：D

8．【答案】B

【解析】分析：根据题意列出方程，利用指数运算性质求解即可.

详解：感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,

则每轮新增感染人数为，

经过n轮传染，总共感染人数为：

即，解得，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染，

故选：B

【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

9．【答案】C

【解析】分析：判断出，，的大小关系即可得出答案.

详解：，．∵．∴．

又∵，，∴．

∴有．

又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．

故选：C.

10．【答案】A

【解析】把对数写成指数，根据指数函数的单调性可判断的大小，再根据指数函数的单调性得到，从而可得三者的大小关系.

详解：因为，

则，

故，

故；

又，

故.

综上，，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了指数对数互化，以及利用指数函数的单调性比较大小的问题.属于较易题.

11．【答案】B

【解析】由指数函数和幂函数的单调性，即可判断，，的大小关系．

详解：因为是定义域的单调增函数，且，

所以，即；

又是定义域上的单调增函数，且，

所以，即；

所以，，的大小关系为．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

12．【答案】B

【解析】分析：由偶函数定义写出的解析式，然后分类讨论解不等式．分三类：，，．

详解：由题意得，

所以不等式即，亦即.

当时，不等式为，显然成立.

当时，不等式为，即.令，则，，即，解得，所以.

当时，不等式为，即，显然不成立.

综上，不等式的解集为.

故选：B．

【点睛】

方法点睛：本题考查函数的奇偶性，考查解绝对值不等式．解题方法是分类讨论，根据绝对值里面式子的正负分类去掉绝对值符号，然后求解．

13．【答案】C

【解析】分析：根据指数幂和根式的关系即可得到结论．

详解：解：因为，所以

故选：C

14．【答案】A

【解析】，，

.

故选：A

15．【答案】C

【解析】分析：求出集合，根据已知条件可求得实数的取值范围.

详解：因为，，

结合有且仅有个元素知，所以，

故选：C．

16．【答案】A

【解析】函数为奇函数，排除选项B和C，

当时，比x增长的快，，排除选项D，

故选：A.

17．【答案】C

【解析】分析：分析可得出，设，求出的值，由此可得出结果.

详解：由题意可得，可得，设，

可得，解得.

因此，污染物消除至最初的还需要小时.

故选：C.

18．【答案】B

【解析】因为，定义域为，

所以，则函数为偶函数，排除A选项；

又因为，，故CD错，B选项正确.

故选：B.