高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算练习题

【名师】4.2.1 对数运算-2优选练习

一．单项选择

1．熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1856年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论．概率论．天体物理．生命科学等领域都有重要应用．在数学中，利用熵可以解决如下问题：有个互不相等的数，需要比较次（表示的阶乘：表示的是向上取整函数，如）就可以将这些数从小到大排序．现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

2．克劳德·香农是美国数学家．信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献．技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽．信道内信号的平均功率．信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加（    ）

A． B． C． D．

3．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

4．若集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈Z}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（　　）

A．{0} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0} D．{0，1}

5．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

7．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为bit/s：为信道带宽，单位为：为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（    ）

A．2 B．99 C．101 D．9999

8．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

9．若，则（    ）

A． B．

C． D．

10．设，则（    ）

A． B．

C． D．

11．若，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

12．若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

13．关于函数有下列结论，正确的是（    ）

A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于直线对称

C．函数的最小值为 D．函数的增区间为，

14．渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（    ）考数据：

A．23分钟 B．33分钟 C．50分钟 D．56分钟

15．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量，是信道的带宽（），S是平均信号功率（），是平均噪声功率（）．已知平均信号功率为，平均噪声功率为，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（    ）

A． B． C． D．

16．下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

17．若函数，则（    ）

A．-6 B．6 C．-4 D．4

18．若，且，则的值可能为（    ）

A． B． C．7 D．10

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较次，然后进行计算即可得出结果.

详解：根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较次，

而，

且，

∴.

故选：C.

2．【答案】B

【解析】分析：由题意设，，然后利用对数的性质计算即可得答案

详解：设，，则，

又，，

故选：B．

3．【答案】C

【解析】分析：根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.

详解：由，当时，，

则.

故选：C.

4．【答案】D

【解析】分析：首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得；

详解：解：，即，解得，所以，

所以

故选：D

5．【答案】D

【解析】分析：令，问题转化为：求在上单调递减，且恒成立时的范围.

详解：令，因为是增函数，所以，要使在上单调递减，只需在上单调递减，且恒成立.

故，解得．

故选：D.

6．【答案】C

【解析】分析：利用“分段法”，结合零点存在性定理确定正确选项.

详解：，

因为在R上单调递增，且，，

所以，所以.

故选：C

7．【答案】C

【解析】分析：利用香农公式求的值，根据的值求的值，从而就能求出信噪比变为原来的多少倍.

详解：当，时，，

由，得，所以，

所以，即信噪比变为原来的101倍.

故选：.

8．【答案】B

【解析】分析：根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.

详解：由条件可知，，，，

所以.

故选：B

9．【答案】A

【解析】分析：构造函数，利用导数讨论单调

性并结合题意得出，整理即得结果.

详解：，则，令解得，

当时，，故单调递减

又，所以，

即，又

所以，有

即

故选：

【点睛】

用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式.

常见构造的辅助函数形式有：

（1）f（x）＞g（x）→F（x）＝f（x）－g（x）；

（2）xf′（x）＋f（x）→［xf（x）］′；

（3）xf′（x）－f（x）→；

（4）f′（x）＋f（x）→；

（5）f′（x）－f（x）→.

10．【答案】B

【解析】分析：利用对数函数的单调性求出范围即可比较.

详解：，，

，，

，

.

故选：B.

11．【答案】A

【解析】分析：利用分段的方法，判断，由此确定正确选项.

详解：，，，

所以，又，故．

故选：A

12．【答案】B

【解析】分析：利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.

详解：（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误；

对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法：

，

从而，选项B正确；

对于选项C：由，，知C错误；

对于选项D：可知，从而选项D错误；

故选：B；

（方法二）取，，代入验证知选项B正确.

【点睛】

本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型.

难点是比较与的大小，需要用作差法，利用换底公式化为同底数的对数的商的差，通分整理后要注意使用基本不等式放缩进行判定.特值检验排除方法是考试中常用的比较灵活的方法，有可能避开复杂的判断和证明快速的解答.

13．【答案】D

【解析】分析：A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断.

详解：，

由，解得，所以函数的定义域为，

因为,所以函数为偶函数，故A错误.

 因为，所以，故B错误；

因为 ，所以，故C错误；

令，如图所示：，t在上递减，在上递增，又在递增，所以函数的增区间为，，故D正确；

故选：D

14．【答案】B

【解析】分析：由题得，解方程可得，再解方程即可得答案.

详解：由题意可得，解得．

故．

令，即，

两边同时取对数，故分钟

故选：B

15．【答案】A

【解析】分析：利用题设条件，计算出原信道容量的表达式，再列出在B不变时用所求平均噪声功率表示的信道容量的表达式，最后列式求解即得.

详解：由题意可得，，则在信道容量未增大时，信道容量为，信道容量增大到原来的2倍时，，则，即，解得，

故选：A

16．【答案】A

【解析】分析：构造函数，利用导数求出函数的单调性，再根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；

详解：解：对于，

，

所以当时，，故．

根据函数，，则，在定义域上单调递减，

，，所以存在，使得，

所以时，所以函数在单调递减，所以，所以，

所以

故选：A

17．【答案】B

【解析】分析：根据，，分别求得，即可.

详解：，，

，

，

，

故选：B

18．【答案】D

【解析】分析：设，把指数式改为对数式，利用对数的运算求解．

详解：设，则且，

，

，

，所以．

故选：D．